Question

Найдите значение произведения х×у, где х и у корни уравнения
(x²-4x+7) × (y²+2y+6) = 15​

Answer 1

$\mathrm{LHS}=\left ( (x-2)^2+3 \right )\left ( (y+1)^2+5 \right )\geq 15$

Данное неравенство выполняется, так как $(x-2)^2 + 3 \ge 3$ и $(y+1)^2 + 5 \ge 5$. Но для того, чтобы было равенство, оба этих неравенства должны быть равенствами. Значит, $(x-2)^2 = (y+1)^2 = 0$, то есть $(x,y)=(2,-1)$, а значит $xy=-2$

Объясню момент, почему $(x-2)^2 + 3 \ge 5$ и $(y+1)^2 + 5 \ge 3$ не будет

Неравенство утверждает, что для любого $a \in \mathbb{R}, \; a^2 \ge 0$ с равенством при $a = 0$. Используя это с $x-2$ и $y+1$, получаем неравенства $(x-2)^2\ge 0$ и $(y+1)^2\ge 0$. Следовательно, $(x-2)^2 + 3 \ge 3 и (y+1)^2 + 5 \ge 5$

Поскольку все задействованные члены положительны, мы можем перемножить эти два неравенства, чтобы получить $\left ((x-2)^2 + 3 \right )\left ((y+1)^2 + 5 \right ) \ge 15$

Однако нам известно, что левая часть на самом деле равна $15$, поэтому у нас должно быть $(x-2)^2 + 3 = 3$ и $(y+1)^2 + 5 = 5$

В качестве альтернативы вы можете расширить выражение $0 = ((x-2)^2 + 3)((y+1)^2 + 5) - 15$, чтобы получить $0=(x-2)^2(y+1) ^2 + (x-2)^2 + (y+1)^2$. Мы снова знаем из неравенства, что все три члена в правой части неотрицательны, поэтому все они должны быть равны $0$, чтобы это уравнение выполнялось