Question

помогите пжлст) найдите наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области. z=x^2+3y^2+x-y D: x=1 y=1 x+y=1
5.6)

Answer 1

Найдём частные производные

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 1, \ \ \frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 1$

Приравнивая выражения к нулю и решая линейную систему уравнений, мы получаем точку $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6}\right)$, где обе части равны $0$, но эта точка находится вне области. Следовательно, минимумы и максимумы функции будут находиться на границе

Заметим, что $D$ - это треугольник. На стороне, где $x+y = 1$, $x$ лежит в диапазоне от $0$ до $1$. Тогда $z = x^2 + 3(1-x)^2 + x - (1-x) = 4x^2 - 4x + 2 = (2x-1)^2 + 1$, поэтому минимум равен $1$ при $x = \frac{1}{2}$, а максимум равен $2$ при $x=0$ или $x = 1$

На стороне, где $x=1$, $y$ лежит в диапазоне от $0$ до $1$. Тогда $z = 1 + 3y^2 + 1 - y = 3\left(y-\frac{1}{6}\right)^2 + \frac{23}{12}$. Минимум равен $\frac{23}{12}$ при $y = \frac{1}{6}$, а максимум равен $4$ при $y = 1$

На стороне с $y = 1$, $x$ лежит в диапазоне от $0$ до $1$. Тогда $z = x^2 + x + 2 = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}$. Минимум равен $2$ при $x = 0$, а максимум - $4$ при $x = 1$

Объединяя результаты, глобальный минимум равен $1$ при $x = y = \frac{1}{2}$, а глобальный максимум равен $4$ при $x = y = 1$.