Question

5^(2+cos2x)-26×5^(cos^2(x))+5/((sqrt)8x-x^2-15)=0
Найти сумму корней (корень) уравнение, деленную на $\pi$

Answer 1

Сначала я хочу найти нули числителя

$\cos(2x)=t, \; |t|\leq 1\Rightarrow 5^{t+2}-26\cdot 5^{\frac{t+1}{2}}+5=0\\5^{t/2}=a, \; a > 0\Rightarrow 25a^2-26\sqrt{5}a+5=0\\D_a=\left ( 26\sqrt{5} \right )^2-4\cdot 5\cdot 25=2880\\a=\frac{26\sqrt{5}\pm 24\sqrt{5}}{2\cdot 5}=\left \{ \sqrt{5},\frac{\sqrt{5}}{25} \right \}\Rightarrow t=\left \{ -3,1 \right \}\\t=1\Rightarrow \cos\left(2\,x\right)=1\Rightarrow 2\,x=2\,\pi\,\mathrm{k},\mathrm{k}\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\pi\,\mathrm{k},\mathrm{k}\in \mathbb{Z}$

Теперь мы должны разобраться с ограничениями. У нас есть дробь, значит числитель может равняться нулю, а знаменатель нет, но в знаменателе так же есть корень, следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но если мы объединим эти ограничения, то нам достаточно решить

$8x-x^2-15 > 0\Leftrightarrow x^2-8x+15 < 0\Leftrightarrow (x-3)(x-5) < 0\Rightarrow x\in (3,5)$

А это значит, что нам нужно отобрать корни. Если $k=2$, то будет много, если меньше единицы, то мало, получается уравнение имеет единственный корень при $k=1\Rightarrow x=\pi$

Answer 2

Ответ: x=π

Объяснение:

Если дробь равна 0, то числитель равен 0. При равняем к 0 только числитель

$5^2^+^{cos2x} -26*5^{cos^2x}+5=0\\cos2x=cos^2x-sin^2x =cos^2x-(1-cos^2x)=2cos^2x-1\\= > 5^2^+^{cos2x} =5^2^-^1^+^{2cos^2x}=5*5^{2cos^2x}\\5^{cos^2x}=t\\= > 5^2^+^{cos2x} -26*5^{cos^2x}+5=5*t^2-26t+5=0$

D=26²-5*5*4=576 =24²

t1=(26+24)/10=5

t2=(26-24)/10=0.2 =1/5

$= > 5^{cos^2x}=5 = > cos^2x=1 = > cos x1= 1 ;cos x2 =-1\\= > x=\pi *k\\5^{cos^2x}=1/5 = > cos^2x=-1$

Для этого случая корней нет.

Итак х=πk  , k∈Z

Проверяем какие корни принадлежат ОДЗ знаменателя.

Для этого приравниваем  выражение под корнем знаменателя и

принимая во внимание, что знаменатель не равен 0 и выражение под корнем не отрицательное запишем и решим неравенство.

8x-x²-15>0

x1=3; x2=5

ОДЗ: x∈(3;5) =>подойдет только корень x=π , так как  3<π<5  , но 2π>5 ,a 0<3