Question

Даю 100 баллов. Розв’язати диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними

Answer 1

$\sin^{2}\left(x\right)\,y'=\cos\left(x\right)\,y+2\,\cos\left(x\right)$

Перепишем наше уравнение, то есть поделим всё на $\sin^2(x)$

$y'=\dfrac{\cos\left(x\right)\,y+2\,\cos\left(x\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}=\dfrac{\cos\left(x\right)\,\left(y+2\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}$

Умножим всё на $\mathrm{d}x$ и поделим на $y+2$, получаем

$\dfrac{\mathrm{d}y}{y+2}=\dfrac{\cos\left(x\right)\,\mathrm{d}x}{\sin^{2}\left(x\right)}\Rightarrow \int{\dfrac{1}{y+2}}{\;\mathrm{d}y}=\int{\dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}}{\;\mathrm{d}x}\Rightarrow \ln\left(y+2\right)=C-\dfrac{1}{\sin\left(x\right)}\Rightarrow y=\dfrac{C}{\sqrt[{\sin\left(x\right)}]{e}}-2$