Question

Множеством значений функции f(x)=((4/π)arcsin(x/3)−1)^2−4 является

Выберите один ответ:
[−1;1]

иное множество
[−3;3]

[−4;5]

[−4;−3]

Answer 1

$f(x)=\left(\dfrac{4}{\pi } \arcsin\dfrac{x}{3} -1\right)^2-4$

Вспомним множество значений функции арксинуса:

$-\dfrac{\pi }{2} \leqslant \arcsin x\leqslant \dfrac{\pi }{2}$

Изменение аргумента $x$ на аргумент $\dfrac{x}{3}$ не меняет множество значений. Графически это интерпретируется как растяжение графика функции от оси ординат:

$-\dfrac{\pi }{2}\leqslant \arcsin \dfrac{x}{3} \leqslant \dfrac{\pi }{2}$

Умножим все части соотношения на $\dfrac{4}{\pi }$:

$\dfrac{4}{\pi }\cdot\left(-\dfrac{\pi }{2}\right)\leqslant \dfrac{4}{\pi }\arcsin\dfrac{x}{3} \leqslant\dfrac{4}{\pi }\cdot \dfrac{\pi }{2}$

$-2\leqslant \dfrac{4}{\pi }\arcsin\dfrac{x}{3} \leqslant2$

Отнимем от всех частей соотношения 1:

$-2-1\leqslant \dfrac{4}{\pi }\arcsin\dfrac{x}{3}-1 \leqslant2-1$

$-3\leqslant \dfrac{4}{\pi }\arcsin\dfrac{x}{3}-1 \leqslant1$

Далее, нужно оценить квадрат выражения, для которого известна оценка. Отметим, что если $x\in[-3;\ 1]$, то $x^2\in[0;\ 9]$, так как на отрезке от -3 до 0 функция $y=x^2$ убывает от 9 до 0, а на отрезке от 0 до 1 та же функция возрастает от 0 до 1. Поэтому:

$0\leqslant \left(\dfrac{4}{\pi }\arcsin\dfrac{x}{3}-1 \right)^2\leqslant9$

Наконец, отнимем от всех частей соотношения 4:

$0-4\leqslant \left(\dfrac{4}{\pi }\arcsin\dfrac{x}{3}-1 \right)^2-4\leqslant9-4$

$-4\leqslant \left(\dfrac{4}{\pi }\arcsin\dfrac{x}{3}-1 \right)^2-4\leqslant5$

Таким образом:

$-4\leqslant f(x)\leqslant5$

$\Rightarrow E(f)=[-4; \ 5]$

Ответ: [-4; 5]