Question

решите уравнение

1/sin^2(2x)+tgx-ctgx=4​

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

После деления на $\sin^2\alpha \neq 0$ получим:

$1+\mathrm{ctg}^2\alpha =\dfrac{1}{\sin^2\alpha }$

Формула синуса двойного угла:

$\sin2\alpha =2\sin\alpha \cos\alpha$

Формула косинуса двойного угла:

$\cos2\alpha =\cos^2\alpha -\sin^2\alpha$

Рассмотрим уравнение:

$\dfrac{1}{\sin^22x} +\mathrm{tg}\,x-\mathrm{ctg}\,x=4$

$1+\mathrm{ctg}^2\,2x +\dfrac{\sin x}{\cos x} -\dfrac{\cos x}{\sin x}=4$

$1+\mathrm{ctg}^2\,2x +\dfrac{\sin^2 x-\cos^2x}{\sin x\cos x} -4=0$

$\mathrm{ctg}^2\,2x -2\cdot \dfrac{\cos^2x-\sin^2 x}{2\sin x\cos x} -3=0$

$\mathrm{ctg}^2\,2x -2\cdot \dfrac{\cos2x}{\sin2x} -3=0$

$\mathrm{ctg}^2\,2x -2\,\mathrm{ctg}\,2x -3=0$

Решаем квадратное уравнение относительно котангенса.

Так как сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту, то первый корень уравнения равен -1, а второй - равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту, взятому с противоположным знаком:

$\mathrm{ctg}\,2x=-1\Rightarrow 2x=\dfrac{3\pi }{4} +\pi n\Rightarrow \boxed{x_1=\dfrac{3\pi }{8} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}}$

$\mathrm{ctg}\,2x=3\Rightarrow 2x=\mathrm{arcctg}\,3+\pi n\Rightarrow \boxed{x_2=\dfrac{1 }{2}\, \mathrm{arcctg}\,3+\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}}$

Ответ: $\dfrac{3\pi }{8} +\dfrac{\pi n}{2};\ \dfrac{1 }{2}\, \mathrm{arcctg}\,3+\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$