Question

докажите, что функция f(x)=sin(1/x) не имеет предела в точке x=0​

Answer 1

Объяснение:

Для доказательства, что функция f(x) = sin(1/x) не имеет предела в точке x = 0, воспользуемся определением предела.

Пусть существует предел функции f(x) при x стремящемся к 0 (x → 0) и обозначим его через L. Это означает, что для любого положительного числа ε существует положительное число δ, такое что для всех значений x исключая, возможно, сам x = 0 (|x| < δ) выполняется неравенство |f(x) - L| < ε.

Рассмотрим последовательность значений x_n = 1/(nπ/2), где n - натуральное число. При n → ∞, x_n стремится к 0.

Теперь посчитаем предел функции f(x) при x_n → 0:

lim(n→∞) sin(1/(1/(nπ/2))) = lim(n→∞) sin(2n/π) = не существует.

Значит, существует последовательность значений, при которых предел функции f(x) не существует при x → 0. Это означает, что функция f(x) = sin(1/x) не имеет предела в точке x = 0.