Question

Решите уравнение при всех параметров а.

Answer 1

Ответ:

$a=0: x=\frac{3\pi }{4}+\pi k\\ \left[\begin{array}{ccc}a > \frac{1+\sqrt{2} }{2} \\a < \frac{1-\sqrt{2} }{2} \end{array}\right: resheniy\ net\\\frac{1-\sqrt{2} }{2} < a < \frac{1+\sqrt{2} }{2} and \ a\neq 0 : x=\frac{1}{2}arcsin\frac{2a-1}{\sqrt{2} }-\frac{\pi }{8} +\pi k,\\ x=-\frac{1}{2}arcsin\frac{2a-1}{\sqrt{2} }+\frac{3\pi }{8} +\pi k$

Объяснение:

$cosx+sinx=\frac{a}{cosx}|*cosx, cosx\neq 0 \\cos^{2} x+sinxcosx=a$

При каких значениях "a" cosx=0 является решением второго уравнения:

$cosx=0: 0+0=a$

Что происходит при a=0:

$cosx+sinx=0\\x=\frac{3\pi }{4}+\pi k$

Если a≠0:

$cos^{2} x+sinxcosx=a\\\frac{1+cos2x}{2}+\frac{sin2x}{2}=a \\cos2x+sin2x=2a-1\\sin(2x+\frac{\pi }{2})+sin2x=2a-1 \\2sin\frac{4x+\frac{\pi }{2} }{2}cos\frac{\pi }{4} =2a-1\\ sin(2x+\frac{\pi }{4})=\frac{2a-1}{\sqrt{2} }$

Область значений синуса [-1;1], то есть если выражение справа выходит за пределы отрезка, то решений нет:

$\left[\begin{array}{ccc}\frac{2a-1}{\sqrt{2} } > 1 \\\frac{2a-1}{\sqrt{2} } < -1 \end{array}\right \left[\begin{array}{ccc}2a > \sqrt{2}+1 \\2a < -\sqrt{2}+1 \end{array}\right \left[\begin{array}{ccc}a > \frac{1+\sqrt{2} }{2} \\a < \frac{1-\sqrt{2} }{2} \end{array}\right$

Если же нет, то по стандарту:

$sin(2x+\frac{\pi }{4})=\frac{2a-1}{\sqrt{2} }\\2x+\frac{\pi }{4} =arcsin\frac{2a-1}{\sqrt{2} }+2\pi k\\2x+\frac{\pi }{4} =\pi -arcsin\frac{2a-1}{\sqrt{2} }+2\pi k\\x=\frac{1}{2}arcsin\frac{2a-1}{\sqrt{2} }-\frac{\pi }{8} +\pi k\\ x=-\frac{1}{2}arcsin\frac{2a-1}{\sqrt{2} }+\frac{3\pi }{8} +\pi k$

При крайних точках(-1 и 1) корни по идее дублируются. Ну и вроде всё, здесь надо аккуратно, хорошо посчитать и всё учесть, поэтому на все сто не уверен.