Question

Очень нужна ваша помощь

Даны функции
$f(x) = \cos( \frac{pix}{6} )$
и
$g(x) = \frac{24}{2 + (x {)}^{2} }$

1. Найти количество нулей функции f в интервале от [3,22).

2.Найти наибольшее значение функции g.

3.Найти наименьшее значение функции
$\gamma (x) = g(f(x))$
4.Найти основной период функции f.
​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

4.  Период функции y=cosx  T=2π

Тогда период функции y=cos(πx/6)   T1=T*6/π=2*π*6/π=12

T1=12

1.  Найдем значение функции в начале заданного интервала

f(3)=cos(π*3/6)=cos(π/2)=0

При х=3 функция равна ноль.

Тогда на интервале х∈(3; 3+T1] =(3;15] f(x) будет иметь еще 2 нуля (так график функции cos пересекает ось абсцисс 2 раза за период)

при х=9 и х=15

Заметим , что длина оставшейся части интервала (15;22) =22-16=7>T1/2 , но меньше Т1 (Т1=12)  . Значит на участке х∈(15;22) функция f(x) имеет еще 1 ноль при х=21.

Итого на интервале [3,22)  функция f(x) имеет четыре нуля.

2. g(x)=g(-x) => g(x) четная. Причем на интервале х∈(-∞;0) - функция монотонно возрастает, а при  х∈(0;+∞) функция монотонно убывает.

=> при х=0 функция имеет максимум g(0)=24/2=12

3. $y(x)=g(f(x))=\frac{24}{cos^2(\frac{\pi x}{6})+2 }$

Заметим , что у(х)>0 для всех х∈R, так как и числитель и знаменатель положительны при любых х

Тогда функция будет иметь минимум при максимальном значении знаменателя. Знаменатель равен максимуму при х , при которых

равен максимуму cos²(πx/6) . Максимальное значение cos это 1. Значит и максимальное значение квадрата косинуса =1

=> максимальное значение знаменателя 2+1=3

=> Найти наименьшее значение функции y(x)  = 24/3=8