Question

Алгебра. 10 класс. Срочно нужна помощь!
Решите уравнение:
Задание на фото!

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

Формулы приведения:

$\sin(\pi+\alpha )=-\sin\alpha,\ \Big( \sin^2(\pi+\alpha )=\sin^2\alpha\Big)$

$\sin\left( \dfrac{3\pi}{2} -\alpha \right)=-\cos\alpha$

Рассмотрим уравнение:

$\sin^2(\pi +2x)-5\sin\left( \dfrac{3\pi}{2} -2x\right)-5=0$

Воспользуемся формулами приведения:

$\sin^22x+5\cos 2x-5=0$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$1-\cos^22x+5\cos 2x-5=0$

$-\cos^22x+5\cos 2x-4=0$

$\cos^22x-5\cos 2x+4=0$

Решаем квадратное уравнение относительно косинуса. Так как сумма коэффициентов равна 0, то первый корень уравнения равен 1, а второй корень равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту:

$\cos2x=1;\ \cos2x=4$

Так как косинус принимает свои значения из отрезка от -1 до 1, то второе уравнение не имеет корней. Решаем оставшееся уравнение:

$\cos2x=1$

$2x=2\pi n$

$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Выполним отбор корней. По условию задан отрезок $[-3\pi;\ -\pi]$:

$-3\pi\leqslant \pi n \leqslant -\pi$

$-3\leqslant n \leqslant -1$

Три целых числа удовлетворяют полученному двойному неравенству. Находим корни, соответствующие этим целым числам, и умножаем полученные корни на 12/п:

$n=-3:\ x_1=-3\pi \Rightarrow x_1'=-3\pi \cdot\dfrac{12}{\pi} =-36$

$n=-2:\ x_2=-2\pi \Rightarrow x_2'=-2\pi \cdot\dfrac{12}{\pi} =-24$

$n=-1:\ x_3=-\pi \Rightarrow x_3'=-\pi \cdot\dfrac{12}{\pi} =-12$

Ответ: -36; -24; -12