Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють 4см і 10 см, а кути при більшій основі 45° і 60°.
Ответы
Ответ .
ABCD - трапеция , ∠АDC = 45° , ∠BAD=60° , ВC=4 cм , AD=10 cм .
Найти S трапеции .
Проведём перпендикуляры BK⊥AD , CH⊥AD . Обозначим высоты трапеции через h=ВК=СН .
BCHK - прямоугольник ⇒ КН=4 см .
Обозначим х=HD . Тогда ΔСDH - прямоугольный с ∠СDH=45° . Тогда и ∠DCH=45° ⇒ ΔCDH - равнобедренный , СН=DH=x , то есть h=x .
АК=AD-КН-DH ⇒ AK=10-4-x=6-x
Рассмотрим ΔАВК , ∠АКВ=90° ∠ВАК=60° .
tg∠BAK = BK/AK ⇒ tg60° = h/(6-x) , √3 = h/(6-x) , h=(6-x)·√3
Приравняем значения высоты :
(6-x)·√3 = х ⇒ 6√3 = х+х√3 , 6√3 = х · (1+√3) , х = 6√3 / (1+√3) ,
х = 6√3 · (1-√3) /(1-3) , х = 6√3 · (1-√3)/(-2) , х = 6√3 · (√3-1)/2 ,
х =3√3 · (√3-1) ⇒ h =3√3 · (√3-1) = 9 - 3√3
Площадь трапеции равна
S = (10+4)/2 · (9-3√3) = 7 · (9-3√3) = 63 - 21√3 (см²) ≈ 26,6 (см²)
