Question

вычислить предел последовательности
lim(n→∞) 1/2! +2/3! +3/4! +...+ (n-1)/n!
сделайте на листочке ​

Answer 1

Ответ:   1

Объяснение:

Напишем общее выражение для  n-ого члена суммы  An

$An=\frac{n}{(n+1)!}$

Найдем An как сумму :

$An=\frac{B}{n!} +\frac{C}{(n+1)!} =\frac{n}{(n+1)!} \\= > \frac{B(n+1)+C}{(n+1)!} !}= \frac{B*n+B+C}{(n+1)!}=\frac{n}{(n+1)!} \\= > B=1\\B+C=0 = > 1+C=0 = > C=-1$

Значит An член суммы можно записать как

$An=\frac{1}{n!} -\frac{1}{(n+1)!}$

=> Всю сумму можно записать как

$Sn=(\frac{1}{1!} -\frac{1}{2!}) +(\frac{1}{2!} -\frac{1}{3!})+(\frac{1}{3!} -\frac{1}{4)!}+...+(\frac{1}{(n-1)!} -\frac{1}{n!})+ (\frac{1}{(n)!} -\frac{1}{(n+1)!})$

Заметим, что все члены суммы  кроме 1/1! - 1(n+1)!  сократятся

$= > Sn= 1-\frac{1}{(n+1)!} \\ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} 1- \lim_{n \to \infty} \y} \frac{1}{(n+1)!} =1-0=1$