Question

вычислить предел последовательностей​

Answer 1

г)

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$.

Методом неопределённых коэффициентов разбиваем дробь на слагаемые:

$\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}=\dfrac{1/2}{k}-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1/2}{k+2}$.

Тогда

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2}$.

Во второй и третьей суммах переобозначаем знаменатель:

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k} + \frac{1}{2}\sum_{k=3}^{n+2}\frac{1}{k}$.

В пределе $n\to \infty$ получим

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\bigg(1+\frac{1}{2}\bigg) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sum_{k=3}^\infty\frac{1}{k} - \sum_{k=3}^\infty\frac{1}{k} + \frac{1}{2}\sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k} = \frac{1}{4}$.

д)

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k!} = \sum_{k=2}^\infty\bigg(\frac{k}{k!} - \frac{1}{k!}\bigg) = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-1)!} - \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k!}$.

Переобозначаем знаменатель в первой сумме:

$\displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-1)!} - \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k!} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} - \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!} = 1 + \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!} - \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!} = 1$.