Дано трикутник АВС, А(0:2), В(4; -2), С(-2; -4). Знайти (бажано двома способами):
АМ, якщо М- середина АВ
АŇ, якщо - середина ВС Середню лінію М.
Ответы
Ответ:
Шановний викладачу/викладачко,
Для того, щоб знайти АМ (перший спосіб), можна скористатися формулою середньої точки між двома координатами. Координати точки М можна знайти, обчисливши середнє арифметичне координат точок А і В. А fомула для розрахунку середньої точки (х, у) між двома точками (х₁, у₁) і (х₂, у₂) виконується наступним чином:
х = (х₁ + х₂) / 2,
у = (у₁ + у₂) / 2.
Застосуємо цю формулу до точок А(0, 2) і В(4, -2):
х = (0 + 4) / 2 = 2,
у = (2 + (-2)) / 2 = 0.
Отже, координати точки М дорівнюють (2, 0). За визначенням, АМ представляє собою відрізок, що з'єднує точки А та М, отже, для його знаходження можна скористатися формулою відстані між двома точками в декартовій системі:
АМ = √((х₂ - х₁)² + (у₂ - у₁)²),
де (х₁, у₁) - координати точки А, (х₂, у₂) - координати точки М.
Замість (х₁, у₁) підставимо координати точки А (0, 2), а замість (х₂, у₂) - координати точки М (2, 0):
АМ = √((2 - 0)² + (0 - 2)²) = √(2² + (-2)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.
Отже, довжина відрізка АМ дорівнює 2√2.
Другий спосіб розрахунку довжини відрізка АМ полягає у використанні теореми Піфагора для прямокутного трикутника АМВ. Враховуючи, що координати точок А та М дорівнюють відповідно (0, 2) та (2, 0), можна побудувати прямокутний трикутник зі сторонами, що проходять через ці точки. Використовуючи теорему Піфагора, можемо обчислити довжину сторони АМ:
АМ² = АВ² + ВМ²,
де АВ - довжина сторони трикутника АВ, яку можна обчислити з використанням формули відстані між двома точками:
АВ = √((х₂ - х₁)² + (у₂ - у₁)²),
де (х₁, у₁) - координати точки А, (х₂, у₂) - координати точки В.
Підставивши відповідні значення координат, отримаємо:
АВ = √((4 - 0)² + (-2 - 2)²) = √(4² + (-4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2.
Крім того, ВМ є половиною сторони ВС, яка має довжину, що обчислюється за формулою:
ВС = √((х₂ - х₁)² + (у₂ - у₁)²),
де (х₁, у₁) - координати точки В, (х₂, у₂) - координати точки С.
Підставивши значення координат, отримаємо:
ВС = √((-2 - 4)² + (-4 - (-2))²) = √((-6)² + (-2)²) = √(36 + 4) = √40 = 2√10.
Враховуючи це, ВМ дорівнює половині довжини ВС, тобто:
ВМ = (1/2) * ВС = (1/2) * 2√10 = √10.
Тепер, використовуючи теорему Піфагора, можемо обчислити АМ:
АМ² = АВ² + ВМ² = (4√2)² + (√10)² = 16 * 2 + 10 = 32 + 10 = 42.
Значить, АМ = √42.
Таким чином, довжина відрізка АМ дорівнює √42.
Для пошуку середньої лінії АŅ потрібно знайти середину відрізка ВС. Аналогічно до першого способу, можемо використати формулу для знаходження середньої точки між двома координатами:
х = (х₁ + х₂) / 2,
у = (у₁ + у₂) / 2.
Застосуємо цю формулу до точок В(4, -2) і С(-2, -4):
х = (4 + (-2)) / 2 = 1,
у = (-2 + (-4)) / 2 = -3.
Таким чином, координати середини відрізка ВС дорівнюють (1, -3).
Отже, середня лінія АŅ є лінія, що з'єднує точки А та середину відрізка ВС. Її довжину можна обчислити за допомогою формули відстані між двома точками:
АŅ = √((х₂ - х₁)² + (у₂ - у₁)²),
де (х₁, у₁) - координати точки А, (х₂, у₂) - координати середини відрізка ВС.
Підставивши відповідні значення, отримаємо:
АŅ = √((1 - 0)² + (-3 - 2)²) = √(1² + (-5)²) = √(1 + 25) = √26.
Отже, довжина середньої лінії АŅ дорівнює √26.
Дякую за увагу.