Question

Помогите пж, геометрия (профиль)

Answer 1

Эту задачу можно решить двумя способами.

1) Координатный.

Поместим куб в прямоугольную систему координат с началом в точке В.

По заданному положению точек на рёбрах куба определим их координаты.

Для удобства обозначим не U, T, K а  А, В и С.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA          y - yA              z - zA

xB - xA        yB - yA           zB - zA

xC - xA         yC - yA           zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x – 0           y – 5            z – 0

5 – 0          10 – 5           0 – 0

0 – 0          6 – 5            10 - 0 = 0

x – 0          y – 5           z – 0

  5                 5                  0

  0                1                   10 = 0

(x – 0)(5·10-0·1) – (y - 5)(5·10-0·0) +( z – 0)(5·1-5·0) = 0

50(x – 0) + (-50)(y – 5) + 5(z – 0) = 0

50x - 50y + 5z + 250 = 0

10x - 10y + z + 50 = 0.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²).

Подставим в формулу данные:

d = |10·10 + (-10)·0 + 1·0 + 50|/√(10² + (-10)² + 1²) = |100 + 0 + 0 + 50|/√(100 + 100 + 1) =

= 150/√201 = (50/67)·√201 ≈ 10,5802.

2) Геометрический.

Рассечём плоскость UTK перпендикулярной плоскостью АА1С1.

Линия EF – это прямая, перпендикуляр к которой из точки А и будет искомым расстоянием.

Отрезки CF и C1E равны половинам отрезков UT и KL.

CF = 5*√2/2 = 2,5√2,

C1E = 4*√2/2 = 2√2 .

Длина отрезка EF равна:

EF = √(10² + (2,5√2 - 2√2)²) = √(201/2) ≈ 10,02497.

Находим синус угла EFС.

sin(EFС) = 10/√(201/2)  ≈ 0,997509.

Длина отрезка AF равна:

AF = 10√2 - 2,5√2 = 7,5√2.

Отсюда получаем искомое расстояние d.

d = AF*sin(AFM) = AF*sin(EFC) = 7,5√2*10/√(201/2) = 150/√201≈ 10,5802.