Question

пользуясь определением предела последовательности,докажите,что:
​

Answer 1

Ответ:

lim(cos(n)/n) = 0.

Пошаговое объяснение:

a) Докажем, что lim((-1)^n) = 0 при n стремящемся к бесконечности.

Последовательность (-1)^n принимает значения 1 и -1 при четных и нечетных значениях n соответственно.

При четных значениях n, последовательность принимает значение 1, а при нечетных значениях n -1.

Поскольку последовательность переключается между значениями 1 и -1 бесконечное количество раз, нельзя найти предел для всей последовательности.

Таким образом, lim((-1)^n) не существует.

b) Докажем, что lim(2n/(n^2 + 3)) = 2 при n стремящемся к бесконечности.

Разделим числитель и знаменатель на n^2:

lim(2n/(n^2 + 3)) = lim(2/n) / lim((n^2 + 3)/n^2) = 0 / 1 = 0.

c) Докажем, что lim(cos(n)/n) = 0 при n стремящемся к бесконечности.

Поскольку -1 <= cos(n) <= 1 для любого значения n, а n стремится к бесконечности, то cos(n)/n также будет стремиться к 0.

Таким образом, lim(cos(n)/n) = 0.