Question

Найти решения следующих дифференциальных уравнений с указа нием фундаментальных решений: d^3y/dx^3 +d^2y/dx^2 +4×dy/dx=0

Answer 1

Для решения этого уравнения воспользуемся методом вариации постоянных.

Предположим, что y(x) имеет вид:

y(x) = C_1 * e^(kx) + C_2 * k * e^(k * x) + C_3 * k^2 * e^(k^2 * x)

где C_1, C_2 и C_3 - константы, а k - параметр.

Подставляя это предположение в уравнение, получим:

d^3y / dx^3 = k^3 * C_1 * e^(k*x) + k^2 * C_2 * e^(k^2*x)

d^2y / dx^2 = k^2 * (C_1 + k * C_2) * e^(k*x) + k * (k*C_2 + C_3) * e^(k^2*x)

dy / dx = k * (C_1 + C_2 + k * C_3) * e^(k*x)

Затем подставим эти выражения в исходное уравнение:

k^3 * C_1 + k^2 * (C_1 + k*C_2) + 4*k*(C_1+C_2+k*C_3) = 0

C_1 = -4*C_3

C_2 = -4*(k+1)*C_3/k

Теперь мы можем выразить y(x) через константы C_3 и k: