Помогите пожалуйста срочно (решение подробное)
Ответы
Ответ:
Для нахождения экстремумов функции Z, необходимо найти ее частные производные по переменным x и y и приравнять их к нулю.
Частная производная по x:
∂Z/∂x = 2x + y - 2
Частная производная по y:
∂Z/∂y = x + 2y - 1
Теперь приравняем их к нулю и решим полученную систему уравнений:
2x + y - 2 = 0
x + 2y - 1 = 0
Можно решить эту систему методом подстановки или методом исключения переменных. Рассмотрим метод исключения переменных:
Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из него второе уравнение:
4x + 2y - 4 - (x + 2y - 1) = 0
3x - 3 = 0
3x = 3
x = 1
Подставим найденное значение x в одно из исходных уравнений:
2(1) + y - 2 = 0
2 + y - 2 = 0
y = 0
Таким образом, получили точку (x, y) = (1, 0), которая является стационарной точкой функции Z.
Для определения типа экстремума проведем вторые производные:
Частная производная второго порядка по x:
∂²Z/∂x² = 2
Частная производная второго порядка по y:
∂²Z/∂y² = 2
Частная производная второго порядка по x и y:
∂²Z/∂x∂y = 1
Вычислим дискриминант D для матрицы вторых производных:
D = (∂²Z/∂x²) * (∂²Z/∂y²) - (∂²Z/∂x∂y)²
D = 2 * 2 - 1²
D = 4 - 1
D = 3
Если D > 0 и (∂²Z/∂x²) > 0, то имеем минимум функции Z в точке (1, 0).
Если D > 0 и (∂²Z/∂x²) < 0, то имеем максимум функции Z в точке (1, 0).
Таким образом, для определения типа экстремума функции Z необходимо изучить знак (∂²Z/∂x²) и значение дискриминанта D.