Question

Помогите пожалуйста (решение подробное)

Answer 1

Найдём точки, подозрительные на экстремум:

$z_x = 0, \, z_y = 0 \iff 2x+y-2 = 0,\, x+2y-1 = 0 \iff (x,y) = (1, 0)$

Теперь надо бы проверить, что эта точка действительно является точкой локального минимума или максимума. Можно применить критерий Сильвестра для проверки положительности квадратичной формы $\mathrm{d}^2z\big|_{(1, 0)}$, но можно посмотреть на неё своими собственными глазами. А заодно и объяснить зачем вообще она нужна.

Функция $z$ --- гладкая. Согласно формуле Тейлора, около точки $(1,0)$ имеем

$z(x,y) \approx z(1, 0) + \mathrm{d}z\big|_{(1,0)} + \tfrac{1}{2}\, \mathrm{d}^2z\big|_{(1,0)}$.

Поскольку $\mathrm{d}z\big|_{(1,0)} = 0$ , а $z(x,y) - z(1,0) = \Delta z\big|_{(1,0)}$, то

$\Delta z\big|_{(1,0)} \approx \big(\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}x\, \mathrm{d}{y} + \mathrm{d}y^2\big)\Big|_{(1,0)} = (x-1)^2 + y(x-1) + y^2$. Эту форму можно свернуть в полный квадрат:

$\Delta z\big|_{(1,0)} \approx \big(x-1 + \tfrac{y}{2}\big)^2 + \tfrac{3y^2}{4}$.

Таким образом,

$\Delta z\big|_{(1,0)} > 0$ при $|\mathrm{d}x| + |\mathrm{d} y| \neq 0 \iff |x -1| + |y| \neq 0$ (ну, то есть, мы смотрим приращение функции, обязательно сдвинувшись по какой-то координате). Значит, точка $(1, 0)$ --- точка локального минимума, а по приращению $\Delta z$ видно, что и вообще глобального.

Ответ. $(1,0)$