Question

Здравствуйте, помогите пожалуйста с решением!

Answer 1

Чтобы вычислить предел, нужно подставить число, к которому оно стремится

Изначальный вид предела:

$\displaystyle \lim _{x \to x_0 }\frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}$

Вместо х₀ мы будет подставлять значения, которые даны ниже

А

$\displaystyle \lim _{x \to 1 }\frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=\frac{3\times1^2-1-10}{7\times1-1^2-10} =\frac{-8}{-4} =2$

Б

$\displaystyle \lim _{x \to 2 }\frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=\frac{3\times2^2-2-10}{7\times2-2^2-10} =\frac{0}{0}$

Получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$, значит нам нужно разложить числитель и знаменатель:

$\displaystyle \lim _{x \to 2 }\frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=\lim _{x \to 2 }\frac{x^2\bigg(3-\dfrac{1}{x}-\dfrac{10}{x^2} \bigg)}{x^2\bigg(\dfrac{7}{x}-1-\dfrac{10}{x^2} \bigg)}=\lim _{x \to 2 }\frac{3-\dfrac{1}{x}-\dfrac{10}{x^2} }{\dfrac{7}{x}-1-\dfrac{10}{x^2}} =\\\\=\frac{3-\dfrac{1}{2} -\dfrac{10}{2^2} }{\dfrac{7}{2} -1-\dfrac{10}{2^2} } =\frac{0}{0}$

Снова неопределенность, значит пробуем преобразовать еще раз. Факторизуем числитель и знаменатель:

$\displaystyle \lim _{x \to 2 }\frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=\lim _{x \to 2 }\frac{3x^2+5x-6x-10}{-x^2+5x+2x-10} =\lim _{x \to 2 }\frac{x(3x+5)-2(3x+5)}{-x(x-5)+2(x-5)} =\\\\=\lim _{x \to 2 }\frac{(3x+5)(x-2)}{-(x-5)(x-2)} =\lim _{x \to 2 }-\frac{3x+5}{x-5} =-\frac{3\times2+5}{2-5} =\frac{11}{3}=3\frac{2}{3}$

В

$\displaystyle \lim _{x \to \infty }\frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=\frac{3\times\infty^2-\infty-10}{7\times\infty-\infty^2-10} =\frac{\infty}{\infty}$

Получили неопределенности вида $\frac{\infty}{\infty}$, значит нужно разложить числитель и знаменатель:

$\displaystyle \lim _{x \to \infty }\frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=\lim _{x \to \infty }\frac{x^2\bigg(3-\dfrac{1}{x}-\dfrac{10}{x^2} \bigg)}{x^2\bigg(\dfrac{7}{x}-1-\dfrac{10}{x^2} \bigg)}=\lim _{x \to \infty }\frac{3-\dfrac{1}{x}-\dfrac{10}{x^2} }{\dfrac{7}{x}-1-\dfrac{10}{x^2}} =\\\\=\frac{3-\dfrac{1}{\infty} -\dfrac{10}{\infty^2} }{\dfrac{7}{\infty}-1-\dfrac{10}{\infty^2} } =\frac{3-0-0}{0-1-0} =-3$

Про неопределенности

Почему же $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$ являются неопределенностями?

В случае с нулем, мы знаем, что если 0 разделить на любое число, получим 0. Но при делении любого числа на 0, получается бесконечность. Отсюда и неопределенность. Вроде бы должны получить 0, но вроде и бесконечность

В случае же с бесконечностью, нельзя сказать, где она увеличивается быстрее, в числителе или знаменателе. Условно, бесконечность в числителе может начинаться от -1 и расти вверх, а в знаменателе от 1 и расти вверх. Или вообще одна из бесконечностей будет постоянно увеличиваться, а вторая бесконечно уменьшаться. Снова нельзя сказать, какой результат получим