Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО НУЖНО!!!
В окружность вписан квадрат ABCD. Через середины сторон BC и CD проведена хорда MK окружности.
а) Доказать, что треугольник AMK – равносторонний;
б) Найти площадь треугольника, если радиус окружности равен 2.

Answer 1

Ответ:

б) $\frac{3\sqrt{3} }{2}$

Объяснение:

a) 1)Введём новые обозначения: X и Y - точки пересечения BC и CD хордой KM соответственно. O - точка пересечения диагоналей квадрата. N - точка пересечения XY и OC

2) Заметим, что XY является средней линией треугольника BDC, то есть XY равен половине BD или же просто радиусу окружности.

3) Кроме того, заметим, что OXCY - квадрат(по-разному можно доказать, например, ОY и OX - медианы равнобедренных треугольников, а значит и высоты - три прямых угла, следовательно, четвёртый тоже, значит получился прямоугольник, но так как две смежные стороны равны, то это квадрат), значит OC=XY и диагонали перпендикулярны, а также точкой пересечения делятся пополам.

4) Заметим, что OMC - равнобедренный треугольник(MN-высота, медиана, а значит и бисектрисса)=> OM=MC, но так как OM=OC=R, то OMC-равносторонний и все углы по 60 градусов.

5) Аналогично с треугольником OKC

6)Раз в четырёхугольнике OKCM все стороны равны, то угол MOK=120 градусам(центральный), а значит угол MAK=60 градусам(вписанный и опирается на ту же дугу)

7) Угол AKC-прямой(опирается на диаметр)=>угол AKO=30 градусам. Поскольку KN - бисектрисса, то угол OKN=NKC=30, а значит угол AKM=60, а значит и угол AMK=60

8) Поскольку все углы треугольника по 60, то AMK-равносторонний ч.т.д.

б) Рассмотрим треугольник ANK, где AN=1.5R:

$AK=\frac{AN}{cos30} =\frac{3\sqrt{2}*2 }{2\sqrt{3} }=\frac{6}{\sqrt{6} }=\sqrt{6}\\S=\frac{AK^{2}\sqrt{3} }{4} =\frac{6\sqrt{3} }{4} =\frac{3\sqrt{3} }{2}$