1. Через вершину А квадрата ABCD із стороною 4 см проведено перпендикуляр АК завдовжки 4sqrt(2) см до площини квадрата. A) Визначити взаємне розміщення прямої CD і площини AKD. Б) Знайти кут між прямою КС і площиною АВС. В) Знайти довжину вiдрiзка КС. Г) Знайти відстань від точки К до прямої BD.
Ответы
Ответ:
А) СD ⊥ AKD.
Б) ∠АСК = 90° : 2 = 45°
В) КС = 8 см
Г) КО = 2√10 см.
Объяснение:
1. Через вершину А квадрата ABCD со стороной 4 см проведен перпендикуляр АК длиной 4√2 см к плоскости квадрата.
A) Определить взаимное размещение прямой CD и плоскости AKD.
Б) Найти угол между прямой КС и плоскостью АВС.
В) Найти длину отрезка КС.
Г) Найти расстояние от точки К до прямой BD.
Дано: ABCD - квадрат;
АК ⊥ ABCD;
AB = 4 см; АК = 4√2 см;
Найти: А) Определить взаимное размещение прямой CD и плоскости AKD. Б) Найти угол между прямой КС и плоскостью АВС. В) Найти длину отрезка КС. Г) Найти расстояние от точки К до прямой BD.
Решение:
А) Определить взаимное размещение прямой CD и плоскости AKD.
- Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
⇒ АК ⊥ AD
⇒ AD - проекция KD на плоскость ABC.
СD ⊥ АD
- Теорема о трех перпендикулярах:
- Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.
⇒ CD ⊥ KD
- Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
⇒ СD ⊥ AKD.
Б) Найти угол между прямой КС и плоскостью АВС.
- Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и проекцией этой прямой на данную плоскость.
АС - проекция АК на АВС.
Рассмотрим ΔAСD - прямоугольный.
По теореме Пифагора найдем АС:
АС² = AD² + CD² = 16 + 16 = 32 ⇒ AC = 4√2 см
АК = 4√2 см; АК ⊥ ABCD (условие)
⇒ ΔACD - прямоугольный и равнобедренный.
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠АКС + ∠АСК = 90°
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
⇒ ∠АКС = ∠АСК = 90° : 2 = 45°
В) Найти длину отрезка КС.
По теореме Пифагора найдем КС:
КС² = АС² + АК² = 32 + 32 = 64 ⇒ КС = 8 см
Г) Найти расстояние от точки К до прямой BD.
- Диагонали квадрата равны, точкой пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны.
AO ⊥ BD
⇒ KO ⊥ BD (теорема о трех перпендикулярах)
- Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.
⇒ КО - искомый отрезок.
АО = АС : 2 = 4√2 : 2 = 2√2 (см)
АК = 4√2 см.
По теореме Пифагора найдем КО:
КО² = АК² + АО² = 32 + 8 = 40 ⇒ КО = 2√10 см.
#SPJ1
