Question

Знайти частинні розвязки рівнянь, які задовольняють початковим умовам

Answer 1

Ответ:

ЛНДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами .

$\bf y''+2y'=x^3-8x\ \ ,\ \ \ y(0)=1\ ,\ y'(0)=2$      

Характеристическое уравнение :  

$\bf k^2+2k=0\ \ ,\ \ \ k(k+2)=0\ \ ,\ \ \ k_1=0\ ,\ k_2=-2$      

Общее решение ЛОДУ 2 пор. :   $\bf y_{oo}=C_1\, e^{0x}+C_2\, e^{-2x}=C_1+C_2\, e^{-2x}$  

Cоставим вид частного решения ЛОДУ 2 пор. по виду правой части .

$\bf f(x)=(x^3-8x)\cdot e^{0x}\ \ \Rightarrow \ \ \ \widetilde{y}=(Ax^3+Bx^2+Cx+D)\cdot x\\\\\widetilde{y}=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx\\\\\widetilde{y}'=4Ax^3+3Bx^2+2Cx+D\\\\\widetilde{y}''=12Ax^2+6Bx+2C\\\\\\\widetilde{y}''+2\widetilde{y}'=12Ax^2+6Bx+2C+2\cdot (4Ax^3+3Bx^2+Cx+D)=x^3-8x\\\\8Ax^3+(12A+6B)\, x^2+(6B+2C)\, x^1+(2C+2D)\, x^0=x^3-8x$  

Найдём коэффициенты методом неопределённых коэффициентов .

$\bf x^3\ |\ 8A=1\ \ ,\qquad \qquad \quad A=\dfrac{1}{8}=0,125\\x^2\ |\ 12A+6B=0\ \ ,\qquad B=-2A=-\dfrac{1}{4}=-0,25\\x^1\ |\ 6B+2C=-8\ \ ,\qquad C=-4-3B=-\dfrac{13}{4}=-3,25\\x^0\ |\ 2C+2D=0\ \ ,\qquad \ \ \ D=-C=\dfrac{13}{4}=3,25$          

$\bf \widetilde{y}=0,125x^4-0,25x^3-3,25x^2+3,25x$    

Общее  решение ЛНДУ второго порядка :

$\bf y=y_{oo}+\widetilde{y}=C_1+C_2\, e^{-2x}+0,125x^4-0,25x^3-3,25x^2+3,25x$  

Подставим начальные условия, найдём частное решение ЛНДУ второго порядка c постоянными коэффициентами .

$\bf y'(x)=-2C_2\, e^{-2x}+0,5x^3-0,75x^2-6,5x+3,25\\\\y'(0)=-2C_2+3,25=2\ \ ,\ \ \ 2C_2=1,25\ \ ,\ \ C_2=0,625\\\\y(0)=C_1+C_2=1\ \ ,\ \ \ C_1=1-C_2=1-0,625=0,375\\\\\\y^{*}=0,375+0,625\, e^{-2x}+0,125x^4-0,25x^3-3,25x^2+3,25x$