Question

Помогите решить очень необходим ответ

Answer 1

$\log_{\sin x \sqrt{2}}(5-7\cos x) = 2 \iff \dfrac{\ln(5-7\cos x)}{\ln(\sin x \sqrt{2})} = 2$

Выпишем ОДЗ:

$\begin{cases}\sin x > 0, \\[2ex] \cos x < \dfrac{5}{7}, \\[2ex] \sin x \neq \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{dcases}$

То есть,

$\cos(x_1) = 3 \iff x_1 \in \varnothing, \\[2ex] \cos(x_2) = \dfrac{1}{2} \iff x_2 = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.$

Из непустой серии корней надо выкинуть те, которые не входят в ОДЗ:

1. Очевидно, что корни, удовлетворяющие $\cos x = \dfrac{1}{2}$, удовлетворяют условиям $\cos x < \dfrac{5}{7}$ и $\sin x \neq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ из ОДЗ.

2. На единичной окружности корни, удовлетворяющие условию $\sin x > 0$ лежат на верхней части окружности. Таким образом, из серии корней $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$ необходимо оставить только серию $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ. $x = \dfrac{\pi}{3} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.$

P.S. Так же очевидно, что на промежуток $[-3 \pi; \, -\pi]$ попадёт только 1 корень.