Предмет: Математика, автор: alexeyturalysov

найти первообразную f(x)=5x^3*3cosX

Ответы

Автор ответа: reygen
1

Ответ:

15 \sin x \cdot x^3 + 45 \cos x \cdot x^2  - 90 \sin x\cdot x - 90 \cos x + C

Пошаговое объяснение:

Формула интегрирования по частям :

\displaystyle \int u \; dv  = uv - \int v \; du

Поскольку показатель x-са равен 3-м , нам придется три раза применить  формулу интегрирования по частям

1.

\displaystyle  \int (5x^3 \cdot 3 \cos x) \; dx  = \displaystyle  15\cdot  \int (x^3 \cdot \cos x) \; dx

u = x³ ⇒  du = 3x² dx

\displaystyle dv = \cos x \Rightarrow v = \int\limits \cos x  \, dx =  \sin x

\displaystyle \int (x^3 \cdot \cos x) \; dx  = \sin x \cdot x^3 -   \int\limits (\sin x \cdot  3x^2 )\, dx  =  \sin x \cdot x^3 - \int\limits (\sin x \cdot  3x^2 )\, dx

2.Второй раз применяем выше указанную формулу

u = 3x²  ⇒ du = 6x

dv = sinx  ⇒ v = - cosx

\displaystyle  \int\limits (\sin x \cdot  3x^2 )\, dx =- \cos x \cdot 3x^2 - \int (- \cos x \cdot 6x)\; dx = \\\\=  - \cos x \cdot 3x^2 + \int ( \cos x \cdot 6x)\; dx

3.И , наконец , в третий

u = 6x  ⇒  du = 6dx

dv = cosx ⇒ v = sinx
\displaystyle  \int ( \cos x \cdot 6x)\; dx=6x\cdot \sin x  - \int\limits 6 \sin x  \, dx = 6x \cdot \sin x  - ( - 6x \cdot \cos x) =  \\\\\  = 6x \cdot \sin x + 6 x\cdot \cos x

Теперь запишем все это целиком :

\displaystyle \displaystyle \int (x^3 \cdot \cos x) \; dx=  \sin x \cdot x^3 - \int\limits (\sin x \cdot  3x^2 )\, dx = \\\\ =\sin x \cdot x^3 + \cos x \cdot  3x^2-\int ( \cos x \cdot 6x)\; dx =  \\\\ =\sin x \cdot x^3 + \cos x\cdot 3x^2 - \bigg ( 6x\cdot \sin x  - \int\limits 6 \sin x  \, dx  \bigg ) =  \\\\\ \sin x &\cdot x^3 + \cos x\cdot 3x^2  - \bigg ( 6 x\cdot \sin x  + 6 \cos x\bigg )  = \\\\\\ = \sin x \cdot x^3  + \cos x \cdot 3x^2 - 6x \cdot \sin x - 6 \cos x

Тогда

\displaystyle 15\cdot  \int (x^3 \cdot \cos x) \; dx = 15\cdot  ( \sin x \cdot x^3 + \cos x \cdot 3x^2 - 6x \cdot \sin x - 6 \cos x) = \\\\\\= 15 \sin x \cdot x^3 + 45 \cos x \cdot x^2  - 90 \sin x\cdot x - 90 \cos x + C

#SPJ1

Похожие вопросы
Предмет: Химия, автор: 8angr
Предмет: Химия, автор: cvetochek34