У якому відношенні, рахуючи від вершини, треба поділити бічну сторону трикутника двома прямими, паралельними основі, щоб площа трикутника була поділена на три рівні частини?
(рус: В каком отношении, считая от вершины, нужно поделить боковую сторону треугольника двумя прямыми, параллельными основаниям, чтобы площадь треугольника была разделена на три равные части?)
Даю 50 балів. Розв'язання повне з усіма посиланнями на факти та теореми. Використовувати матеріал до 9 класу. Якщо ще й малюнок зробите - то взагалі окрема подяка.
Ответы
Ответ:
У нас есть треугольник. Его площадь S равна основание на высоту.
Мы должны получить ПОДОБНЫЕ треугольники, у которых у самого малого будет площадь 1/3*S, а у второго 2/3S. Необходимо понимать что все размеры (и основание и высота и боковые стороны пропорциональны). Тогда
1/3*ah=a1h1
ah=3a1h1
h1/h=a1/a =>h1=ha1/a
ah=3a1²h/a
a²=3a1²
a1=a/√3 - Т.е. размеры первого треугольника в √3 меньше начального.
Теперь для второго
ah=2/3*a2h2
h2/h=a2/a => h2=ha2/a
2/3*ah=a2*ha2/a
a2=√2/√3*a
Теперь восстанавливаем отношения. Пусть боковая сторона 1, тогда отношение будет
1/√3:√2/√3:1 - избавимся от иррациональности в знаменатели. Умножим на √3
√3/3:√6/3:√3 - отношение отрезков, считая от вершины.
Похоже на правду. Приближенно: 0.58:0.82:1 - каждый раз уменьшается соотношение.