Question

На детском мероприятии в виде подарка в урну бросили билеты, которые пронумерованы от 1 до 100. Какова вероятность того, что Вася достанет два билета номера которых в два раза больше один другого

Answer 1

Вероятность определим как отношение числа благоприятных пар билетов к общему числу пар билетов.

$P(A)=\dfrac{m}{n}$

Рассмотрим благоприятные пары билетов, то есть такие пары билетов, номера которых отличаются в два раза:

{1; 2}; {2; 4}; {3; 6}; ...; {50; 100}.

Таких пар 50:

$m=50$

Общее число пар билетов, которые можно составить из имеющихся 100 билетов, равно числу сочетаний из 100 элементов по 2:

$n=C_{100}^2=\dfrac{100\cdot99}{2}=4950$

Тогда, искомая вероятность:

$P(A)=\dfrac{50}{4950} =\boxed{\dfrac{1}{99}}$

Рассуждать можно было по-другому. Предположим, что Вася достал какой-то билет с каким-то номером. Тогда, вторым билетом ему нужно достать билет с номером, вдвое большим или вдвое меньшим, чем первый.

События "Номер второго билета вдвое больше номера первого билета" и "Номер второго билета вдвое меньше номера первого билета" несовместны, поэтому вероятности этих событий нужно будет сложить.

Найдем вероятность того, что номер второго билета будет вдвое больше номера первого билета. Во-первых, нужно потребовать, чтобы вдвое больший номер билета существовал среди билетов. Такой номер будет существовать, если номер первого билета не больше 50. То есть, только для половины номеров существует номер, вдвое больший. Если такой номер существует, то достать 1 конкретный номер из 99 оставшихся можно с вероятностью 1/99. А итоговая вероятность рассматриваемого события:

$P(n_2=2n_1)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{99}$

Найдем вероятность того, что номер второго билета будет вдвое меньше номера первого билета. По аналогии, сначала нужно потребовать, чтобы вдвое меньший номер билета существовал. Такой номер будет существовать, если номер первого билета четный. Значит, только для половины номеров существует номер, вдвое меньший. Если такой номер существует, то достать 1 конкретный номер из 99 оставшихся можно с вероятностью 1/99. Итоговая вероятность рассматриваемого события:

$P\left(n_2=\dfrac{n_1}{2} \right)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{99}$

Тогда, искомая вероятность:

$P(A)=P(n_2=2n_1)+P\left(n_2=\dfrac{n_1}{2} \right)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{99}=\boxed{ \dfrac{1}{99}}$

Ответ: 1/99