Question

Помогите с заданием:

Answer 1

Ответ:

Циркуляция векторного поля:

$\boldsymbol{\boxed{ \oint\limits_\Gamma {\overrightarrow{F}} \, dl =-2\pi}}$

Пошаговое объяснение:

$\overrightarrow{F} = y\overrightarrow{i} - x\overrightarrow{j}+z^{2}\overrightarrow{k}$- векторное поле

$\displaystyle \Gamma:\left \{ {{x^{2} +y^{2}=1} \atop {z=4}} \right.$

По формуле Стокса в общем виде:

$\boxed{ \oint\limits_\Gamma {\overrightarrow{F}} \, dl = \iint\limits_{S} { \text{rot} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n}} \, dS }$

Ротор векторного поля:

$\text{rot} \overrightarrow{F} = \bigg(\dfrac{\partial }{\partial y} \bigg(z^{2} \bigg) -\dfrac{\partial }{\partial z} \bigg(-x \bigg) \bigg)\overrightarrow{i} + \bigg( \dfrac{\partial }{\partial z} \bigg(y \bigg) -\dfrac{\partial }{\partial x} \bigg(z^{2} \bigg) \bigg)\overrightarrow{j}+$

$+\bigg(\dfrac{\partial }{\partial x} \bigg(-x \bigg) -\dfrac{\partial }{\partial y} \bigg(y \bigg) \bigg)\overrightarrow{k}= 0 \cdot \overrightarrow{i} + 0 \cdot \overrightarrow{j} + (-1-1) \cdot \overrightarrow{k} = -2\overrightarrow{k} = \{0;0;-2\}$

Вектор нормали к поверхности $z:$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{k} = \{0;0;1\}$

$\text{rot}\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n}} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 = -2$

$\displaystyle \oint\limits_\Gamma {\overrightarrow{F}} \, dl = \iint\limits_{S} { \text{rot} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n}} \, dS = \iint\limits_{S} { -2} \, dS = -2 \iint\limits_{S} { } \, dS =-2S_{p}$, где $S_{p} \ -$ площадь ограниченная контуром $\Gamma$.

Так как контур $\Gamma$ ограничивает окружность радиуса $R =1$, то площадь поверхности можно найти по формуле площади круга, тогда:

$S_{p} = \pi R^{2} = \pi \cdot 1^{2} = \pi$

$\displaystyle \oint\limits_\Gamma {\overrightarrow{F}} \, dl =-2S_{p}=-2\pi$

#SPJ1