Question

помогите пж прошу братья​

Answer 1

Ответ:

x ∈ (- ∞; $\frac{4+\sqrt{12} }{-2}$) ∪ ($\frac{4-\sqrt{12} }{-2}$; + ∞).

Решение:

Перед нами показательное неравенство:

$0,5^{x^{2}-4x } < 8;$

Для того, чтобы его решить, нужно привести обе части неравенства к одному основанию.

Заметим, что $0,5 = \frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

Также вспомним, что $8 = 2^{3}$.

Выходит:

$\frac{1}{2} ^{x^{2}-4x } < 2;$

Остаётся привести к одному основанию $\frac{1}{2}$ и $2$.

В этом случае, нужно $\frac{1}{2}$ возвести в какую-то степень, чтобы получить $2$ или наоборот. Разницы не будет.

"Превратим" $\frac{1}{2}$ в $2$.

Чтобы понять, как это сделать, вспомним что такое отрицательная степень. Проще это показать на формуле:

Если $a\neq 0$, а $n < 0$, то справедливо следующее:

$a^{n} = \frac{1}{a^{-n} }$.

Например:

$10^{-1}= \frac{1}{10^{-(-1)} } =\frac{1}{10^{1} }=\frac{1}{10}$.

Видим, что с помощью отрицательной степени $-1$ можем "перевернуть" дробь.

Поэтому, чтобы из $\frac{1}{2}$ получилось $2$, нужно возвести $\frac{1}{2}$ в степень $-1$:

$2 ^{-1*(x^{2}-4x) } < 2;$

$2^{-x^{2} -4x} < 2^{1} ;$

Теперь можем сравнить показатели степеней. Так как $2 > 1$, то функция возрастающая, поэтому не будем менять знак неравенства.

Получим:

$-x^{2} - 4x < 1;$

$-x^{2} - 4x -1 < 0;$

Перед нами квадратное неравенство. Для его решения, решим соответствующее ему уравнение:

$-x^{2} -4x-1=0;$

$a=-1; b=-4; c=-1;$

$D=b^{2} -4ac;$ $D=(-4^{2} )- 4 *(-1)*(-1) = 16-4 = 12;$

$x_{1} = \frac{-b+\sqrt{D} }{2a} ;$   $x_{1}=\frac{4+\sqrt{12} }{-2} ;$

$x_{2} = \frac{-b-\sqrt{D} }{2a} ;$   $x_{2}=\frac{4-\sqrt{12} }{-2} ;$

Теперь решим неравенство методом интервалов. Для этого разложим квадратный трёхчлен на множители по формуле:

$ax^{2} (+-) bx(+-)c = a(x-x_{1} )(x-x_{2} );$

Упростим неравенство, умножив обе его части на $-1$:

$-x^{2} - 4x -1 < 0|*(-1)$

$x^{2} +4x +1 > 0;$

Теперь, разложим квадратный трёхчлен на множители:

$1(x-\frac{4+\sqrt{12} }{-2})(x-\frac{4-\sqrt{12} }{-2} ) > 0;$

Далее, построим координатную прямую $x$, и отметим точки зануления (значения x, при которых трёхчлен обратится в 0):

----------o----------o---------->

       $\frac{4+\sqrt{12} }{-2}$      $\frac{4-\sqrt{12} }{-2}$        $x$

Эти точки будут выколотыми, то есть не будут являться решением неравенства, так как оно строгое!

(!) Как определить, какая из двух наших дробей больше, чтобы правильно найти её местоположение на прямой? Проанализируем эти две дроби.

[1] $\frac{4-\sqrt{12} }{-2}$

Обратим внимание на $\sqrt{12}$. Нужно понять, он больше 4 или нет, ведь от этого зависит знак нашей дроби.

Определим, корнем чего является 4. Для этого просто возведём 4 в квадрат: $4^{2} = 4*4=16$.

Значит: $4 = \sqrt{16}$.

Следовательно, $\sqrt{16} > \sqrt{12}$, значит если вечесть 4 из $\sqrt{12}$ , то получим положительное число.

А так как в знаменателе отрицательное число, то дробь будет отрицательной.

[2] $\frac{4+\sqrt{12} }{-2}$

В этом случае дробь выйдет отрицательной потому что в числителе мы складываем два положительных числа, а в знаменателе число отрицательное. Важно, что числитель этой дроби больше, чем числитель предыдущей. Так как обе дроби отрицательны, то эта дробь будет меньше предыдущей, и мы её расположим левее.

Теперь определим знаки на трёх промежутках этой прямой.

Для этого, вместо $x$ подставим 3 любых числа из трёх промежутков:

- для промежутка (- ∞; $\frac{4+\sqrt{12} }{-2}$) возьмём число $-1000$, и подставим в  разложенный на множители трёхчлен $1(x-\frac{4+\sqrt{12} }{-2})(x-\frac{4-\sqrt{12} }{-2} )$:

$1(-1000-\frac{4+\sqrt{12} }{-2})(-1000-\frac{4-\sqrt{12} }{-2} )$.

Не вычисляя, заметим, что если из $-1000$ вычесть отрицательное число, меньшее по модулю чем $-1000$, то у нас выйдет отрицательное число. Аналогично и в других скобках. А при перемножении двух отрицательных чисел получаем положительное число, значит знак на данном промежутке - "+".

- для промежутка ($\frac{4-\sqrt{12} }{-2}$; + ∞) возьмём число 0. Аналогично предыдущему примеру, подставим его вместо $x$, получим произведение отрицательных чисел, значит также выйдет знак "+".

- для промежутка ($\frac{4+\sqrt{12} }{-2}; \frac{4-\sqrt{12} }{-2}$) будет знак "-".

Итак получаем:

---------------o---------------o--------------->

      $[+]$   $\frac{4+\sqrt{12} }{-2}$   $[-]$    $\frac{4-\sqrt{12} }{-2}$   $[+]$       $x$

$1(x-\frac{4+\sqrt{12} }{-2})(x-\frac{4-\sqrt{12} }{-2} ) > 0;$

Так как нам будут подходить именно положительные промежутки, значит ответом будет:

x ∈ (- ∞; $\frac{4+\sqrt{12} }{-2}$) ∪ ($\frac{4-\sqrt{12} }{-2}$; + ∞).