Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём малого, отсечённого проведенной плоскостью конуса, равен 7.
Ответы
Відповідь:
Объем большого конуса равен 189 единицам.
Покрокове пояснення:
Мы имеем дело с двумя конусами:
1) Большой конус ( первоначальный ), обозначим его высоту как H и радиус основания как R;
2) Малый конус ( отмеченный от большого плоскостью параллельной основанию ), обозначим его высоту как h и радиус основания как r.
Поскольку плоскость, отсекающая малый конус проведена параллельно основанию большого конуса через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, то высоты конусов относятся как:
h / H = 1 / 3
( Высота малого конуса пропорциональна единице, а высота большого конуса пропорциональна 1 + 2 = 3 единицам ).
Отсюда:
H = 3h ( 1 )
Так, как основания конусов параллельны и угол при вершине одинаков, то конуса подобны, следовательно и радиуса оснований конусов относятся как:
r / R = 1 / 3
Отсюда:
R = 3r ( 2 )
Объем малого конуса находится по формуле:
V = 1/3 × π × r² × h ( 3 )
Объем большого конуса находится по формуле:
v = 1/3 × π × R² × H ( 4 )
Подставим уравнения ( 1 ) и ( 2 ) в формулу ( 4 ):
V = 1/3 × π × ( 3r )² × 3h
V = 1/3 × 9 × 3 × π × r² × h
V = 27 × 1/3 × π × r² × h
V = 27 × v
Поскольку объем малого конуса равен семи единицам, то объем большого конуса равен:
V = 27 × 7= 189 единиц.