Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,02. Среди случайно отобранных 480 изделий оказалось 12 дефектных. Можно ли принять партию?
Решение:
Уровень значимости возьмем равным 0,05.
Ответы
Шаг 1. Сформулируйте гипотезу
H₀: вероятность брака p ≤ 0,02 (партия может быть принята)
H₁: Вероятность брака p > 0,02 (партия должна быть забракована)
Шаг 2: Определите статистический тест
Мы можем использовать биномиальный тест. Для этого нам понадобятся следующие параметры:
n = 480 (общее количество товаров)
k = 12 (количество бракованных изделий)
p₀ = 0,02 (вероятность дефекта)
Шаг 3: Рассчитайте тестовую статистику
Мы можем рассчитать тестовую статистику, используя следующую формулу:
Z = (k - np₀) / √(np₀(1 - p₀))
Шаг 4: Определите критическую область
Для заданного уровня значимости α = 0,05 можно определить критическую область. Если Z > Z_critical, нулевая гипотеза H₀ отклоняется. Если Z ≤ Z_critical, принимается нулевая гипотеза H₀.
Шаг 5: Примите решение
Вычислите значение тестовой статистики Z и сравните его с критическим значением. Если Z больше критического значения, отклоните нулевую гипотезу и сделайте вывод, что партия должна быть отклонена. Если Z меньше или равно критическому значению, примите нулевую гипотезу и сделайте вывод, что партия может быть принята.
Пошаговое объяснение:
Для решения этой задачи, мы можем использовать биномиальное распределение и проверить, превышает ли доля дефектных изделий уровень значимости.
Дано, что среди 480 случайно отобранных изделий было 12 дефектных. Доля дефектных изделий может быть вычислена как отношение числа дефектных изделий к общему числу изделий:
p = 12 / 480 = 0.025
Теперь мы можем проверить, превышает ли эта доля уровень значимости 0.02. Для этого проведем статистическую проверку гипотезы:
H0: p <= 0.02 (нулевая гипотеза)
H1: p > 0.02 (альтернативная гипотеза)
Мы используем односторонний тест, так как мы интересуемся только тем, превышает ли доля уровень значимости.
Для выполнения этого теста, мы можем использовать Z-статистику, которая вычисляется следующим образом:
Z = (p - p0) / sqrt(p0 * (1 - p0) / n)
где p0 - значение доли из нулевой гипотезы, n - размер выборки.
В нашем случае:
p0 = 0.02
n = 480
Вычислим Z-статистику:
Z = (0.025 - 0.02) / sqrt(0.02 * (1 - 0.02) / 480) ≈ 0.218
Теперь мы можем сравнить полученное значение Z с критическим значением Z для уровня значимости 0.05. Критическое значение Z для одностороннего теста с уровнем значимости 0.05 составляет примерно 1.645.
Так как значение Z (0.218) меньше критического значения (1.645), мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу.
Таким образом, на основе имеющихся данных, мы не можем сделать вывод о том, что доля дефектных изделий превышает уровень значимости 0.02. Следовательно, партию можно принять