Question

Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений

Answer 1

Ответ:

Система линейных однородных уравнений всегда имеет тривиальное (нулевое ) решение . Так как заданная система содержит 4 неизвестных и 3 уравнения, то скорее всего она будет иметь бесчисленное множество решений .

Выпишем матрицу коэффициентов .

$\left(\begin{array}{cccc}3&3&5&-2\\2&2&8&-3\\2&2&4&-1\end{array}\right)\sim$  

Из 3 строки вычтем 2 строку ,  1 стр. умножим на (-2) и прибавим ко 2 строке, умноженной на 3 .

$\sim \left(\begin{array}{cccc}3&3&5&-2\\0&0&14&-5\\0&0&-4&2\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}3&3&5&-2\\0&0&-4&2\\0&0&14&-5\end{array}\right)\sim$    

Поменяли местами 2 и 3 строки . Затем2 строку умножим на 14 и прибавим к 3 строке, умноженной на 4 . Далее разделим 2 строку на 2 , а третью строку на 8 .

$\sim \left(\begin{array}{cccc}3&3&5&-2\\0&0&-4&2\\0&0&0&8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}3&3&5&-2\\0&0&-2&1\\0&0&0&1\end{array}\right)$    

Ранг матрицы системы равен 3 , количество неизвестных равно 4 . Система имеет бесчисленное множество решений .

За базисные неизвестные примем  $\bf x_2\ ,\ x_3\ ,\ x_4$  , так как  

$\bf \left|\begin{array}{cccc}3&5&-2\\0&-2&1\\0&0&1\end{array}\right|=3\cdot (-2)\cdot 1=-6\ne 0$   .

Cвободное неизвестное -  $\bf x_1$  , Оно принимает произвольные значения .

$\left\{\begin{array}{r}\bf 3x_1+3x_2+5x_3-2x_4=0\\\bf -2x_3+x_4=0\\\bf x_4=0\end{array}\right\ \ \ \left\{\begin{array}{r}\bf 3x_1+3x_2=0\\\bf -2x_3=0\\\bf x_4=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{r}\bf x_2=-x_1\\\bf x_3=0\\\bf x_4=0\end{array}\right$  

Пусть  $\bf x_1=C$  , тогда решение системы имеет вид

$X=\left(\begin{array}{r}\bf C\\\bf -C\\\bf 0\\\bf 0\end{array}\right)$