Question

Математика логарифмы помогите кто шарит пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$\bf 1)\ \ log\, _{0,7}(2x-7) > log\, _{0,,7}\, 5 \ ,\ \ ODZ:\ x > 3,5$  

Основание логарифма  0 < 0,7 < 1  , поэтому функция убывающая и

$\bf 2x-7 < 5\ \ ,\ \ 2x < 12\ \ ,\ \ x < 6\\\\Otvet:\ x\in (\ 3,5\ ;\ \ 6\ )\ .$    

$\bf 2)\ \ log_3(x-7) < 3\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x > 7\ \ ,\\\\log_3(x-7) < log_3\, 3^3$  

Основание логарифма  3 > 1  , поэтому функция возрастающая и  

$\bf x-7 < 27\ \ ,\ \ x < 34\\\\Otvet:\ x\in (\ 7\ ;\ 34\ )$

 .

$\bf 3)\ \ log\, _{0,25}(2-x)-log\, _{0,25}\, 2 > 0\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x < 2\\\\log\, _{0,25}(2-x) > log\, _{0,25}\, 2\\\\0 < 0,25 < 1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2-x < 2\ \ ,\ \ 2-2 < x\ \ ,\ \ x > 0\\\\Otvet:\ \ x\in (\ 0\ ;\ 2\ )\ .\\\\\\4)\ \ log_2(x-5)+log_2(x+2) > 3\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x > 5\ ,\\\\log_2(x-5)(x+2) > log_2\, 2^3\\\\2 > 1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (x-5)(x+2) > 8\ \ ,\ \ \ x^2-3x-18 > 0\ \ ,\ \ x_1=-3\ ,\ x_2=6\\\\(x+3)(x-6) > 0\ \ ,\ \ \ znaki:\ +++(-3)---(6)+++\\\\x\in (-\infty ;-3\ )\cup (\ 6\ ;+\infty \, )$  

$\bf \left\{\begin{array}{l}\bf x > 5\\\bf x\in (-\infty ;-3\ )\cup (\ 6\ ;+\infty \, )\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ Otvet:\ x\in (\ 6\ ;+\infty \, )\ .$    

$\bf 5)\ \ log_3^2x-log_3x-6 < 0\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x > 0$  

Замена:  

$\bf t=log_3x\ \ ,\ \ \ \ t^2-t-6 < 0\ \ ,\ \ t_1=-2\ ,\ t_2=3\ \ (teorema\ Vieta)\\\\znaki:\ \ +++(-2)---(3)+++\\\\-2 < \, t\, < 3\ \ \ \Rightarrow \ \ \ log_3\, 3^{-2} < log_3x < log_3\, 3^3\ \ ,\ \ \ 3^{-2} < x < 3^3\ ,\\\\Otvet:\ x\in \Big(\ \dfrac{1}{9}\ ;\ 27\ \Big)\ .$  

Answer 2

1)

ОДЗ:

$2x - 7 > 0 \\ 2x > 7 \: \: | \div 2 \\ x > 3.5$

$log_{0.7}(2x - 7) > log_{0.7}(5)$

Убывающая функция, знак меняем

$2x - 7 < 5 \\ 2x < 5 + 7 \\ 2x < 12 \: \: | \div 2 \\ x < 6 \\ otvet: \: \: \: x \: \in \: (3.5; \: 6)$

2)

ОДЗ:

$x - 7 > 0 \\ x > 7$

$log_{ 3}(x - 7) < 3 \\ log_{3}(x - 7) < log_{3}(27)$

Возрастающая функция, знак не меняем

$x - 7 < 27 \\ x < 27 + 7 \\ x < 34 \\ otvet :\: \: \: x \: \in \: (7; \: 34)$

3)

ОДЗ:

$2 - x > 0 \\ - x > - 2 \: \: | \times ( - 1) \\ x < 2$

$log_{0.25}(2 - x) - log_{0.25}(2) > 0 \\ log_{0.25}(2 - x) > log_{0.25}(2)$

Убывающая функция, знак меняем

$2 - x < 2 \\ - x < 2 - 2 \\ - x < 0 \: \: | \times ( - 1) \\ x > 0 \\ otvet: \: \: \: x \: \in \: (0; \: 2)$

4)

ОДЗ:

$\left \{ {{x - 5 > 0} \atop {x + 2 > 0 }} \right. \: \: \: \: \: \: \: \left \{ {{x > 5} \atop {x > - 2 }} \right. \\ \\ x > 5$

$log_{2}(x - 5) + log_{2}(x + 2) > 3 \\ log_{2}((x - 5)(x + 2)) > log_{2}(8)$

Возрастающая функция, знак не меняем

$(x - 5)(x + 2) > 8 \\ {x}^{2} + 2x - 5x - 10 - 8 > 0 \\ {x}^{2} - 3x - 18 > 0 \\ \\ \left \{ {{(x + 3)(x - 6) > 0} \atop {x > 5 }} \right. \\ \\ (5) - - - - - (6) + + + + + \\ otvet: \: \: \: x \: \in \: (6; \: + \infty )$

5)

ОДЗ:

$x > 0$

$log_{3} {}^{2} (x) - log_{3}(x) - 6 < 0 \\ log_{3}(x) = a \\ a {}^{2} - a - 6 < 0 \\ (a - 3)(a + 2) < 0 \\ + + + + + ( -2 ) - - - - - (3) + + + + + \\ - 2 < a < 3 \\ - 2 < log_{3}(x) < 3 \\ log_{3}( \frac{1}{9} ) < log_{3}(x) < log_{3}(27)$

Возрастающая функция, знак не меняем

$\frac{1}{9} < x < 27 \\ otvet: \: \: \: x \: \in \: ( \frac{1}{9} ; \: 27)$