знайдіть проміжки зростання і спадання функції
f(x) = x^2/(x^2+3)
Ответы
Ответ:
Для пошуку проміжків зростання та спадання функції потрібно визначити похідну функції і дослідити її знаки.
Обчислимо похідну функції:
f'(x) = (2x(x^2+3) - x^2(2x))/((x^2+3)^2) = 6x/(x^2+3)^2
Досліджуємо знаки похідної:
f'(x) = 0 при x = 0
f'(x) > 0 якщо x > 0 або x < 0
f'(x) < 0 якщо x > 0 або x < 0
З цього випливає що функція f(x) має мінімум при x = 0 та є монотонно зростаючою на проміжку (-безкінечність 0) і на проміжку (0 +безкінечність). Відповідно функція f(x) має проміжки зростання на цих інтервалах. На всьому проміжку (-безкінечність +безкінечність) функція f(x) є обмеженою сверху (максимальне значення функції дорівнює 1) і не має точок перегину тому має проміжки спадання на всьому цьому інтервалі.
Отже проміжки зростання функції f(x) - (-безкінечність 0) і (0 +безкінечність а проміжки спадання - на всьому інтервалі (-безкінечність +безкінечність).