Question

Потрібно обчислити інтеграли. Допоможіть будьласка

Answer 1

Ответ:

Вычислить интегралы .  

$\bf \displaystyle 1)\ \ \int (e^{x}+5^{x})^2\, dx=\int (e^{2x}+2\cdot (5e)^{x}+5^{2x})\, dx=\\\\\\=\frac{1}{2}\, e^{2x}+2\cdot \frac{(5e)^{x}}{ln(5e)}+\frac{1}{2}\cdot \dfrac{5^{2x}}{ln5}+C=\frac{1}{2}\, e^{2x}+2\cdot \frac{(5e)^{x}}{ln5+1}+\dfrac{5^{2x}}{2\, ln5}+C$  

Интегрирование рациональных дробей .

$\bf \displaystyle 2)\ \ \int \frac{x^2-2x+2}{x^3+2x^2-8x}\, dx=\int \frac{x^2-2x+2}{x(x^2+2x-8)}\, dx=\int \frac{x^2-2x+2}{x(x-2)(x+4)}\, dx=$  

Разложим дробь на сумму простейших дробей .

$\bf \displaystyle \frac{x^2-2x+2}{x(x-2)(x+4)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+4}=\\\\\\=\frac{A(x-2)(x+4)+Bx(x+4)+Cx(x-2)}{x(x-2)(x+4)}\\\\\\x^2-2x+2=A(x-2)(x+4)+Bx(x+4)+Cx(x-2)\\\\x=2:\ \ \ 2^2-2\cdot 2+2=B\cdot 2(2+4)\ ,\ \ 2=12B\ \ ,\ \ B=6\\\\x=-4:\ \ (-4)^2-2\cdot (-4)+2=C\cdot (-4)(-4-2)\ \ ,\ \ 26=24C\ ,\ C=\frac{13}{12}\\\\x=0:\ \ 0^2-2\cdot 0+2=A(0-2)(0+4)\ \ ,\ \ 2=-8A\ \ ,\ \ A=-4$  

$\bf \displaystyle \int \frac{x^2-2x+2}{x^3+2x^2-8x}\, dx=-4\int \frac{dx}{x}+6\int \frac{dx}{x-2}+\frac{13}{12}\int \frac{dx}{x+4}=\\\\\\=-4\cdot ln|\, x\, |+6\cdot ln|\, x-2\, |+\frac{13}{12}\cdot ln|\, x+4\, |+C$