Question

Обчислити інтеграл від 0 до п/2 dt/1+cost

Answer 1

Ответ:

Вычислить определённый интеграл .  

Сначала упростим подынтегральное выражение с помощью формулы понижения степени :  $\bf cos^2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1+cosx}{2}$   .

$\bf \displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}\, \frac{dt}{1+cost}=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}\, \frac{dt}{2\, cos^2\dfrac{t}{2}}=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}\, \frac{\dfrac{1}{2}\, dt}{cos^2\dfrac{t}{2}}=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}\, \frac{d(\dfrac{t}{2})}{cos^2\dfrac{t}{2}}=tg\frac{t}{2}\, \Big|_0^{\frac{\pi }{2}}=\\\\\\=tg\frac{\pi }{4}-tg\, 0=1-0=1$