Question

Найти частное решение дифференциального уравнения

Answer 1

Ответ:

$y=2e^{\frac{1}{x}-1}-\dfrac{1}{x}-1$

Объяснение:

Поскольку достаточно того, чтобы функция существовала в точке x = 1, разделим обе части на x³:

$x^3y'+xy+1=0\\y'+\dfrac{y}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}=0\\y'+\dfrac{y}{x^2}=-\dfrac{1}{x^3}$

Представим функцию в виде произведения двух функций (метод Бернулли): $y=uv\Rightarrow y'=u'v+uv'$. Тогда

$u'v+uv'+\dfrac{uv}{x^2}=-\dfrac{1}{x^3}\\u'v+u\left(v'+\dfrac{v}{x^2}\right)=-\dfrac{1}{x^3}$

Подберём функцию v так, чтобы $v'+\dfrac{v}{x^2}=0$:

$\dfrac{dv}{dx}+\dfrac{v}{x^2}=0\\\dfrac{dv}{v}=-\dfrac{dx}{x^2}\\\ln{|v|}=\dfrac{1}{x}\\v=e^{\frac{1}{x}}$

Подставив в дифференциальное уравнение, получаем:

$u'\cdot e^{\frac{1}{x}}=-\dfrac{1}{x^3}\\\dfrac{du}{dx}=-\dfrac{1}{e^{\frac{1}{x}}x^3}\\du=-\dfrac{dx}{e^{\frac{1}{x}}x^3}$

Возьмём интеграл правой части:

$\displaystyle \int -\dfrac{dx}{e^{\frac{1}{x}}x^3}=\left[\begin{array}{ccc}u=-\dfrac{1}{x}&du=\dfrac{dx}{x^2}\\dv=\dfrac{dx}{e^{\frac{1}{x}}x^2}&v=e^{-\frac{1}{x}}\end{array}\right]=-\dfrac{1}{e^{\frac{1}{x}}x}-\int \dfrac{dx}{e^{\frac{1}{x}}x^2}=-\dfrac{1}{e^{\frac{1}{x}}x}-\dfrac{1}{e^{\frac{1}{x}}}+C$

Таким образом,

$u=-\dfrac{1}{e^{\frac{1}{x}}x}-\dfrac{1}{e^{\frac{1}{x}}}+C\\y=uv=-\dfrac{1}{x}-1+Ce^{\frac{1}{x}}$

Найдём C путём подстановки x = 1 и y = 0:

$0=-1-1+Ce\\Ce=2\\C=\dfrac{2}{e}$

Таким образом, частное решение:

$y=2e^{\frac{1}{x}-1}-\dfrac{1}{x}-1$