По координатам вершин пирамиды АВСD средствами векторной алгебры найти: 1) длины ребер АВ и АС; 2) угол между ребрами АВ и АС; 3) площадь грани АВС; 4) проекцию вектора (АВ) на (АС) ; 5) объем пирамиды.
A (–2; 1; 3) B (–1; 1; 3) C (2; 0; 2) D (2; 0; 4)
Ответы
Для решения задачи по координатам вершин пирамиды АВСD средствами векторной алгебры, мы будем использовать векторы, связывающие вершины пирамиды.
Длины ребер АВ и АС:
Вектор AB = B - A = (-1 - (-2); 1 - 1; 3 - 3) = (1; 0; 0).
Длина ребра AB равна |AB| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = √1 = 1.
Вектор AC = C - A = (2 - (-2); 0 - 1; 2 - 3) = (4; -1; -1).
Длина ребра AC равна |AC| = √(4^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √18 = 3√2.
Угол между ребрами АВ и АС:
Используем скалярное произведение векторов AB и AC.
AB · AC = |AB| * |AC| * cos(θ),
где θ - угол между векторами AB и AC.
AB · AC = (1 * 4) + (0 * (-1)) + (0 * (-1)) = 4.
|AB| = 1 и |AC| = 3√2, как мы уже рассчитали.
4 = 1 * (3√2) * cos(θ),
cos(θ) = 4 / (3√2).
Теперь найдем угол θ, используя обратный косинус (арккосинус) функцию:
θ = arccos(4 / (3√2)).
Площадь грани АВС:
Площадь грани ABC можно найти как половину произведения длин двух сторон грани, умноженного на синус угла между ними.
Площадь грани ABC = (1/2) * |AB| * |AC| * sin(θ).
Мы уже знаем значения |AB|, |AC| и θ, поэтому можем подставить их в формулу для площади грани ABC.
Проекция вектора (АВ) на (АС):
Проекция вектора AB на вектор AC может быть найдена путем произведения скалярного произведения вектора AB на единичный вектор, сонаправленный с вектором AC.
Проекция вектора AB на AC = (AB · AC) / |AC|.
Мы уже рассчитали AB · AC (4) и |AC| (3√2), поэтому можем подставить их в формулу для проекции.
Ответ:
можно лучший ответ пожалуйста