Question

План города имеет вид 6×8 клеток. Рассмотрим все пути по улицам из левого нижнего угла в правый верхний, не использующие движение влево и вниз. Чему равно отношение числа путей, начинающихся с шага вправо, к числу путей, начинающихся с шага вверх? Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Answer 1

По условию, план города имеет вид 6×8 клеток. Значит:

1) чтобы попасть из нижней строки в верхнюю необходимо совершить $V=6-1=5$ движений вверх;

2) чтобы попасть из левого столбца в правый необходимо совершить $P=8-1=7$ движений вправо.

Заметим, что всего будет совершено (V+P) шагов.

Пусть первый шаг - движение вправо. Тогда, остается совершить еще (V+P-1) шагов, из которых V - движений вверх. Число возможных путей равно числу сочетаний из (V+P-1) по V:

$n(\rightarrow)=C_{V+P-1}^V=\dfrac{(V+P-1)!}{V!\cdot(P-1)!}$

Аналогично, пусть первый шаг - движение вверх. Тогда, остается совершить еще (V+P-1) шагов, из которых P - движений вправо. Число возможных путей равно числу сочетаний из (V+P-1) по P:

$n(\uparrow)=C_{V+P-1}^P=\dfrac{(V+P-1)!}{P!\cdot(V-1)!}$

Найдем отношение числа путей, начинающихся с шага вправо, к числу путей, начинающихся с шага вверх:

$\dfrac{n(\rightarrow)}{n(\uparrow)} =\dfrac{(V+P-1)!}{V!\cdot(P-1)!}:\dfrac{(V+P-1)!}{P!\cdot(V-1)!}=\dfrac{(V+P-1)!\cdot P!\cdot(V-1)!}{V!\cdot(P-1)!\cdot (V+P-1)!}=$

$=\dfrac{P\cdot(P-1)!\cdot (V-1)!}{V\cdot(V-1)!\cdot(P-1)!}=\dfrac{P}{V}$

То есть:

$\dfrac{n(\rightarrow)}{n(\uparrow)} =\dfrac{7}{5} =1.4$

Ответ: 1.4