Question

Исследовать функцию и построить график
y = x+ 1/x

Answer 1

Пошаговое объяснение:

у=х+1/х

1.

у=0 ; 0=х+1/х ; х≠0

(х²+1)/х=0

х²+1=0

х²= -1

x∉R

нет пересечения с осью х

х=0 ; у=0+1/0 на 0 делить нельзя

нет пересечения с осью у

2.

х

1/х

х∈R

х∈(-∞;0)⋃(0; +∞)

область определения: х∈(-∞;0)⋃(0;+∞)

3.

а) вертикальная асимптота

lim (x+1/x)

x->0

lim (x+1/x)

x->0-

lim (x+1/x) +∞

x->0+

lim(x) 0

x->0- -∞

lim(1/x) -∞

x->0-

x=0 вертикальная асимптота

б) горизонтальная асимптота

lim (x+1/x)

x->+∞

lim (x+1/x)

x->-∞

lim(x) +∞

x->+∞ +∞

lim(1/x) 0

x->+∞

lim(x) -∞

x->-∞ -∞

lim(1/x) 0

x->-∞

нет горизонтальных асимптот

в) наклонная асимптота

lim((x+1/x)/x)

x->+∞

lim(x+1/x) +∞

x->+∞

lim(x) +∞

x->+∞

lim((x²+1)/x)/x)=lim((x²+1)/x²)=lim(x²+(1+1/x²)/x²)=

x->+∞ x->+∞ x->+∞

=lim((1+1/x²)=1+0=1

x->+∞

lim(x+1/x -x)

x->+∞

lim(1/x) 0

x->+∞

y=1x+0

y=x наклонная асимптота

4.

f(x)=x+1/x x≠0

f'(x)=1-1/x²

0=1-1/x²

1/x²=1

x²=1

x= ±1

+ - - +

——o——-o——o——

-1 0 1

f'(-2)=3/4

f'(-1/2)= -3

f'(1/2)= -3

f'(2)=3/4

локальный максимум х= -1

локальный минимум х=1

f(-1)= -1+1/(-1)= -2

f(1)=1+1/1=2

уmax= -2 в точке х= -1

уmin = 2 в точке х=1

5.

у"=2/x³ ;x≠0

0=2/x³

2=0

ø

точка перегиба возможна при х=0

т.к при х=0 функция не определена,то

нет точек перегиба.

6.

f(x)=x+1/x

f(-x)=(-x)+1/(-x)= -x-1/x= -(x+1/x)

f(-x)= -f(x)

нечётная

7 график на фото