Question

Доказать справедливость неравенства при любом n∈N:
1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!<5n-2/2n

Answer 1

Привет!

Будем доказывать неравенство методом математической индукции. Согласно методу математической индукции, некоторый факт имеет любом натуральном n, если выполняются следующие условия:
1) утверждение верно при n=1
2) из справедливости утверждения для n=k следует и его справедливость для n=k+1
Давайте проверим каждое условие.

1)База индукции. Для n=1 неравенство принимает вид:
1/1! < 5-2/2
1<3/2
1<1.5
Это является верным утверждением.

2) Предположение индукции. Пусть неравенство справедливо для n=k, т.е.

1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/k! < 5k-2/2k

Докажем, что из этого следует выполнение неравенства для n=k+1.

Шаг индукции. Добавим к левой части неравенства слагаемое 1/(k+1)!. Получаем:
1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/k! + 1/(k+1)! < 5k-2/2k + 1/(k+1)!

Можно заметить, что 1/(k+1)! < 1/k! для любого k (это действительно, так как k! = k·(k-1)! и k > k+1). Поэтому:

1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/k! + 1/(k+1)! < 5k-2/2k + 1/k!

Приведём правую часть к общему знаменателю:

5k-2/2k + 1/k! * (k+1)/(k+1) < 5(k+1)-2/2(k+1)

5k-2/2k + (k+1)/(k+1)! < 5(k+1)-2/2(k+1)

Перенесём левую часть вправо:

5(k+1)-2/2(k+1) - 5k-2/2k > (k+1)/(k+1)!

(5k+3)/(2k(k+1)) > 1/(k+1)

(5k+3)/2k > 1 - 1/(k+1)

Также стоит отметить, что

(5k+3)/2k > 1,5

1 - 1/(k+1) > 1 - 1/2 = 0,5

Поэтому последнее неравенство следует из уже доказанного:

(5k+3)/2k > 1,5 > 1 - 1/(k+1)

Таким образом, мы доказали, что если неравенство верно для n=k, то оно верно и для n=k+1. По принципу математической индукции, оно верно для любого натурального n.

Ответ: неравенство 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! < 5n-2/2n верно для любого n∈N.