Question

Ради всего святого!!!!!
Срочноо

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \bf 1)\;\int\limits {\frac{3e^x}{(3-e^x)^3} } \, dx\displaystyle \bf =\frac{3}{2(3-e^x)^2}+C$

$\displaystyle \bf 2)\;\int\limits {t\sqrt{1-7t^2} } \, dt\displaystyle \bf =-\frac{1}{21} (1-7t^2)\sqrt{1-7t^2}+C$

$\displaystyle \bf 3)\;\int\limits {\frac{cos7x}{1-sin7x} } \, dx \displaystyle \bf =-\frac{1}{7}ln|1-sin7x|+C$

$\displaystyle \bf 4)\;\int\limits {\frac{x\;dx}{\sqrt{4-5x^2} } } =-\frac{1}{5} \sqrt{4-5x^2}+C$

$\displaystyle \bf 5)\;\int\limits {cosx\;sin7x} \, dx =-\frac{1}{16}cos8x-\frac{1}{12}cos6x+C$

$\displaystyle \bf 6)\;\int\limits {\frac{lnx}{x^3} } \, dx =-\frac{lnx}{2x^2} -\frac{1}{4x^2}+C$

Пошаговое объяснение:

Вычислить интегралы:

$\displaystyle \bf 1)\;\int\limits {\frac{3e^x}{(3-e^x)^3} } \, dx=$

Замена переменной:

3 - еˣ = t

-eˣdx = dt   ⇒   eˣdx = -dt

Получим:

$\displaystyle \bf =-3\int\limits {\frac{1}{t^3} } \, dt=-3\int\limits {t^{-3}} \, dt=-3\cdot\frac{t^{-2}}{-2}=\frac{3}{2t^2}=$

Обратная замена:

$\displaystyle \bf =\frac{3}{2(3-e^x)^2}+C$

$\displaystyle \bf 2)\;\int\limits {t\sqrt{1-7t^2} } \, dt=$

Замена переменной:

1 - 7t² = x

-14t dt = dx

t dt = -dx/14

Получим:

$\displaystyle \bf -\frac{1}{14}\int\limits {\sqrt{x} } \, dx =-\frac{1}{14} \int\limits {x^{\frac{1}{2} }} \, dx =-\frac{1}{14}\cdot \frac{x^{\frac{3}{2} }\cdot 2}{3} =-\frac{1}{21}x\sqrt{x} =$

Обратная замена:

$\displaystyle \bf =-\frac{1}{21} (1-7t^2)\sqrt{1-7t^2}+C$

$\displaystyle \bf 3)\;\int\limits {\frac{cos7x}{1-sin7x} } \, dx =$

Замена переменной:

1 - sin 7x = t

-7 cos 7x dx = dt

cos 7x dx = -dt/7

Получим:

$\displaystyle \bf =-\frac{1}{7}\int\limits {\frac{dt}{t} } =- \frac{1}{7}ln|t|=$

Обратная замена:

$\displaystyle \bf =-\frac{1}{7}ln|1-sin7x|+C$

$\displaystyle \bf 4)\;\int\limits {\frac{x\;dx}{\sqrt{4-5x^2} } } =$

Замена переменной:

4 - 5x² = t

-10x dx = dt

x dx = -dt/10

Получим:

$\displaystyle \bf =-\frac{1}{10} \int\limits {\frac{dt}{\sqrt{t} } } =-\frac{1}{10}\int\limits {t^{-\frac{1}{2} }} \, dt=-\frac{1}{10}\cdot\frac{t^{\frac{1}{2} }\cdot2}{1} =-\frac{1}{5}\sqrt{t}=$

Обратная замена:

$\displaystyle \bf =-\frac{1}{5} \sqrt{4-5x^2}+C$

$\displaystyle \bf 5)\;\int\limits {cosx\;sin7x} \, dx =$

• Воспользуемся формулой:

    2sinα cosβ = sin(α + β) + sin(α - β)

$\displaystyle \bf =\frac{1}{2}\int\limits {(sin8x+sin6x)} \, dx =\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{8}cos8x-\frac{1}{6}cos6x\right)=\\ \\ =-\frac{1}{16}cos8x-\frac{1}{12}cos6x+C$

$\displaystyle \bf 6)\;\int\limits {\frac{lnx}{x^3} } \, dx =$

• Интегрирование по частям:

     ∫u dv = uv - ∫v du

$\displaystyle \bf u=lnx\\\\du=\frac{dx}{x}$                      $\displaystyle \bf dv= x^{-3}dx\\\\v=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^2}$

$\displaystyle \bf =-lnx\cdot\frac{1}{2x^2}-\int\limits {\left(-\frac{1}{2x^2}\right)\cdot\frac{1}{x} } \, dx =-\frac{lnx}{2x^2}+\frac{1}{2}\int\limits {x^{-3}} \, dx =\\ \\=-\frac{lnx}{2x^2} +\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{lnx}{2x^2} -\frac{1}{4x^2}+C$

#SPJ1