Question

С решением, пожалуйста. Окружность касается боковых сторон AB и CD и основания BC трапеции ABCD, а также пересекает основание AD в точках K и N, таких, что AK=9, KN=16, ND=2. Основание BC равно 15. Найдите: 1) боковые стороны трапеции; 2) площадь трапеции; 3) радиус данной окружности

Answer 1

Ответ:

1) AB = 20 ед.;   CD = 16 ед.;

2) S(ABCD) = 336 ед.²

3) R = 10 ед.

Объяснение:

Окружность касается боковых сторон AB и CD и основания BC трапеции ABCD, а также пересекает основание AD в точках K и N, таких, что AK=9, KN=16, ND=2. Основание BC равно 15. Найдите: 1) боковые стороны трапеции; 2) площадь трапеции; 3) радиус данной окружности.

Дано: ABCD - трапеция;

Окр.(О,R) касается АВ, ВС, AD;

Окр.(О,R) ∩ AD = {K; N};

AK = 9, KN = 16, ND = 2; BC = 15.

Найти: 1) АВ и CD;   2) S(ABCD);   3) R.

Решение:

1) Найдем боковые стороны трапеции.

• Квадрат отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

⇒ АР² = АN · AK = (9 + 16) · 9 = 225   ⇒   AP = 15;

DH² = DK · DN = (2 + 16) · 2 = 36   ⇒  DH = 6.

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ОЕ ⊥ ВС

Дополнительное построение:

Продлим ОЕ до пересечения с AD и поставим точку М, проведем высоты BT и CF.

• Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй прямой.

⇒ ЕМ ⊥ AD.

• Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам.

⇒ КМ = МN = 16 : 2 = 8

Пусть ВЕ = х, тогда ЕС = 15 - х.  

• Отрезки касательных, проведенных из одной точки. равны.

⇒ ВЕ = ВР = х;   ЕС = СН = 15 - х.

ТВЕМ и МЕСF - прямоугольники.

⇒ ВЕ = ТМ = х;   ЕС = MF = 15 - x

Пусть ВТ = ЕМ = СF = h.

Рассмотрим ΔАВТ - прямоугольный.

АВ = АР + РВ = 15 + х

АТ = АМ - ТМ = (9 + 8) - x = 17 - x

По теореме Пифагора:

h² = AB² - AT² = (15 + x)² - (17 - x)² = 225 + 30x + x² - 289 + 34x -x²

h² = 64x - 64     (1)

Рассмотрим ΔFCD - прямоугольный.

CD = DH + HC = 6 + (15 - х) = 21 - x

FD = МD - МF = (8 + 2) - (15 - x) = x - 5

По теореме Пифагора:

h² = CD² - FD² = (21 - x)² - (x - 5)² = 441 - 42x + x² - x² + 10x -25

h² = 416 - 32x     (2)

Приравняем (1) и (2) и решим уравнение:

64x - 64 = 416 - 32x

96x = 480     |:96

x = 5

⇒ AB = 15 + x = 20 (ед.)

CD = 21 - x = 16 (ед.)

2) Найдем площадь трапеции.

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

h² = 64x - 64 = 320 - 64 = 256   ⇒  h = 16

S(ABCD) = (BC + AD) · h/2 = (15 + (9 + 16 + 2)) · 16 / 2 = 336 (ед.²)

3) Найдем радиус окружности.

Рассмотрим ΔКОМ - прямоугольный.

ОК = R;   KM = 8

По теореме Пифагора:

ОМ² = R² - 64   ⇒   OM = √(R² - 64)

h = R + OM

R + √(R² - 64) = 16

√(R² - 64) = 16 - R     |^2,   R ≥ 8

R² - 64 = 256 - 32R + R²

32R = 320     |:32

R = 10 (ед.)

* В решении получилось, что h = CD = 16 ед. ⇒ данная трапеция прямоугольная.

#SPJ1