Question

Розвязати диференційне рівняння . y"-3 (y'/x)=x

Answer 1

Для розв'язання даного диференційного рівняння, спочатку введемо заміну змінної. Позначимо y' = dy/dx і замінимо цю змінну новою змінною v. Тоді y'' = d^2y/dx^2.

Після введення заміни, початкове диференційне рівняння можна переписати в наступному вигляді:

v' - 3(v/x) = x

Тепер ми маємо лінійне диференційне рівняння першого порядку, яке можна вирішити за допомогою методу інтегруючого множника. Застосуємо цей метод до нашого рівняння.

Множимо обидві частини рівняння на x^3, щоб отримати рівняння з однаковими степенями:

x^3v' - 3x^2v = x^4

Тепер знайдемо інтегруючий множник. Для цього візьмемо похідну виразу x^3v відносно x:

d/dx (x^3v) = 3x^2v + x^3v'

Порівнюючи це з рівнянням, бачимо, що множником буде x^2.

Помножимо обидві частини рівняння на x^2:

x^5v' - 3x^4v = x^6

Тепер знайдемо загальний розв'язок цього лінійного диференційного рівняння. Він може бути знайдений шляхом інтегрування обох частин рівняння:

∫ (x^5v' - 3x^4v) dx = ∫ x^6 dx

Для лівої частини застосуємо формулу інтегрування за частинами:

∫ (x^5v' - 3x^4v) dx = x^5v - ∫ (5x^4v - 5x^4v') dx

Тепер розв'яжемо інтеграл:

x^5v - 5∫ (x^4v - x^4v') dx = ∫ x^6 dx

∫ x^6 dx = (1/7) x^7 + C1,

де C1 - довільна константа.

Тепер розглянемо інтеграл ∫ (x^4v - x^4v') dx:

∫ (x^4v - x^4v') dx = ∫ (x^4v) dx - ∫ (x^4v') dx

Перший інтеграл можна виразити як:

∫ (x^4v) dx = ∫ (x^4) dv = (1/5) x^5v + C2,

де C2 - довільна константа.

Другий інтеграл можна виразити як:

∫ (x^4v') dx = ∫ (x^4) dv = (1/5) x^5v + C3,

де C3 - довільна константа.

Замінюємо значення інтегралів у початковому рівнянні:

x^5v - 5((1/5) x^5v + C2 - (1/5) x^5v + C3) = (1/7) x^7 + C1

Спрощуємо вираз:

x^5v - x^5v + 5(C3 - C2) = (1/7) x^7 + C1

5(C3 - C2) = (1/7) x^7 + C1

C4 = (1/7) x^7 + C1,

де C4 = 5(C3 - C2) - довільна константа.

Отже, загальний розв'язок диференційного рівняння є:

x^5v = (1/7) x^7 + C1 + C4

Для відновлення розв'язку у формі функції y(x), ми використовуємо заміну v = y':

x^5y' = (1/7) x^7 + C1 + C4

Тепер інтегруємо обидві частини рівняння відносно x:

∫ x^5y' dx = ∫ ((1/7) x^7 + C1 + C4) dx

(1/6) x^6y = (1/56) x^8 + C1x + C4x + C5

x^6y = (1/8) x^8 + (1/6) C1x^7 + (1/6) C4x^6 + C5x,

де C5 - довільна константа.

Остаточно отримуємо розв'язок диференційного рівняння у формі:

y(x) = (1/8) x^2 + (1/6) C1x + (1/6) C4x^5 + C5/x^6,

де C1, C4 і C5 - довільні константи.