Question

Помогите решить эти 3 примера

Answer 1

№1

$\sqrt{x+1} =x-1$

ОДЗ:

$x+1\geq 0\\x\geq -1$

Возведём обе части уравнения в квадрат и решим квадратное уравнение:

$x+1=x^2-2x+1\\x^2-3x=0\\x(x-3)=0\\x_1=0\:\:x_2=3$

Проверка:

$\sqrt{0+1} =0-1\\1=-1$

Неверно

$\sqrt{3+1} =3-1\\2=2$

Верно

Ответ: $x=2$

№2

$3\times5^{2x-1}-50\times5^{x-3}=0,2$

Преобразуем выражение применив свойства степеней и упростим:

$\displaystyle3\times5^{2x}\times\frac{1}{5} -50\times5^{x}\times\frac{1}{125} =0,2\\\\\frac{3}{5} \times5^{2x}-\frac{50}{125} \times5^x=0,2$

Выполним замену и решим уравнение относительно t:

$\displaystyle5^x=t\\\\\frac{3}{5} t^2-\frac{50}{125} t-\frac{1}{5} =0\\\\\frac{3}{5} t^2-\frac{2}{5} t-\frac{1}{5} =0|\times5\\\\3t^2-2t-1=0\\\\D=(-2)^2-4\times3\times(-1)=4+12=16=4^2\\\\t_{1,2}=\frac{2\pm4}{6} =\bigg[^\bigg1_\bigg{-\dfrac{1}{3} }$

Возвращаем переменную и решаем уравнения:

$t=5^x\\\\5^x=-\dfrac{2}{3}$

Решений нет, т.к. степенная функция не может быть отрицательной

$t=5^x\\\\5^x=1\\x=0$

Ответ: x=0

№3

$\displaystyle\log_\frac{1}{3} (2-3x) < -2$

ОДЗ:

$2-3x > 0\\\\3x < 2 \\\\x < \dfrac{2}{3}$

Преобразуем выражение со сменой знака, т.к. основание логарифма меньше 1:

$2-3x > \bigg(\dfrac{1}{3} \bigg)^{-2}\\\\2-3x > 3^2\\-3x > 9-2\\-3x > 7\\\\x < -\dfrac{7}{3}$

Найденный x входит в ОДЗ, значит

$x\in(-\infty;-\dfrac{7}{3} )$