Question

Помогите пожалуйста решим систему, желательно подробно

Answer 1

Ответ:

Cделаем замену :   $\bf u=x+y\ \ ,\ \ v=xy$  .

$\bf \left\{\begin{array}{l}\bf xy-x-y=5\\\bf x^2+y^2-x-y=18\end{array}\right\\\\\\(x+y)^2=x^2+y^2+2xy\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\\\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf v-u=5\\\bf u^2-2v-u=18\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf v=5+u\\\bf u^2-2\, (5+u)-u=18\end{array}\right$  

$\left\{\begin{array}{l}\bf v=5+u\\\bf u^2-3\, u-28=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf v=5+u\\\bf u_1=-4\ ,\ u_2=7\end{array}\right\ \ \ (teorema\ Vieta)\\\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf v_1=1\ ,\ v_2=12\\\bf u_1=-4\ ,\ u_2=7\end{array}\right$        

Вернёмся к старым переменным .

$\bf a)\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x+y=-4\\\bf xy=1\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=-4-x\\\bf x(-4-x)=1\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=-4-x\\\bf x^2+4x+1=0\end{array}\right\\\\\\x^2+4x+1=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=4^2-4=12\ \ ,\\\\x_1=\dfrac{-4-2\sqrt3}{2}=-2-\sqrt3\ \ ,\ \ \ x_2=-2+\sqrt3\\\\y_1=-4+2+\sqrt3=-2+\sqrt3\ \ ,\ \ y_2=-4+2-\sqrt3=-2-\sqrt3$  

$\bf b)\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x+y=7\\\bf xy=12\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=7-x\\\bf x(7-x)=12\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=7-x\\\bf x^2-7x+12=0\end{array}\right\\\\\\x^2-7x+12=0\ \ ,\ \ x_1=3\ \ ,\ \ x_2=4\ \ \ (teorema\ Vieta)\\\\y_1=7-3=4\ \ ,\ \ y_2=7-4=3$    

$\bf Otvet:\ \ (-2-\sqrt3\ ;\ -2+\sqrt3)\ ,\ (-2+\sqrt3\ ;\ -2-\sqrt3)\ ,\ (3;4)\ ,\ (4;3)\ .$