Question

Решите задачу пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Дифференциальное уравнение с однородными функциями .

$\bf \displaystyle xy'\, sin\frac{y}{x}+x=y\, sin\frac{y}{x}\ \ ,\ \ \ \ y(1)=\frac{\pi }{2}\\\\\\y'=\frac{y}{x}-\frac{1}{sin\dfrac{y}{x}}\ \ ,\ \ \ \ zamena:\ \ t=\frac{y}{x}\ \ ,\ \ y=tx] ] ,\ \ y'=t'x+t\\\\\\t'x+t =t-\frac{1}{sin\, t}\ \ ,\ \ \ t'x=\frac{1}{sin\, t}\ \ ,\ \ \ \ \frac{dt}{dx}\cdot x=\frac{1}{sin\, t}\ \ ,\\\\\\\int sin\, t\, dt=\int \frac{dx}{x}\ \ \ ,\ \ \ -cos\, t=ln|\, x\, |+C\ \ ,\\\\\\\boxed{\bf \ cos\, \frac{y}{x}=-ln|\, x\, |-C\ }$  

Нашли общий интеграл .

Теперь найдём частный интеграл, воспользовавшись начальными условиями .

$\bf \displaystyle y(1)=\frac{\pi }{2}\ \ \Rightarrow \ \ \ cos\frac{\pi }{2}=-ln1-C\ \ ,\ \ C=0\\\\\\\boxed{\bf \ cos\frac{y}{x}=-ln|\, x\, |\ }$