Question

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд: $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{x^3}$.
Варианты ответов:
1) сходится
2) расходится
3) сходится абсолютно
4) сходится условно
5) сходится на интервале (-3;3)

Answer 1

Привет!

Для исследования на абсолютную сходимость ряда Рассмотрим ряд |(sin(nx))/x^3| = (|sin(nx)|)/x^3. Заметим, что |sin(nx)| <= 1 для любого n и любого x, поэтому (|sin(nx)|)/x^3 <= 1/x^3. Ряд ∑1/x^3 сходится абсолютно (это p-ряд с p=3>1), поэтому по признаку сравнения ряд ∑(sin(nx))/x^3 сходится.

Для исследования на условную сходимость ряда заметим, что sin(nx) меняет знаки при переходе через каждый π/n, то есть на интервалах [(k-1)π/n;kπ/n] для k=1,2,...,n. На каждом таком интервале sin(nx) сохраняет знак, поэтому можно считать, что все члены ряда имеют одинаковый знак. Проверим условия признака Лейбница:

- |(sin(nx))/x^3| убывает по n (для фиксированного x) и стремится к нулю при n→∞;

- ряд |(sin(nx))/x^3| сходится (это мы уже доказали выше).

Поэтому ряд ∑(sin(nx))/x^3 сходится условно по признаку Лейбница.

Чтобы определить, на каких интервалах он сходится абсолютно, воспользуемся признаком Абеля: если последовательность {a_n} монотонна и ограничена, а последовательность {b_n} удовлетворяет условиям:

1) {b_n} монотонна в большую или меньшую сторону;

2) ряд от {b_n} сходится;

то ряд от a_n*b_n сходится абсолютно.

Для нашего случая последовательность {a_n} уже найдена, а последовательность {b_n} = sin(nx) не удовлетворяет условиям признака Абеля, так как она не является монотонной и не сходится (кроме случая n=0). Следовательно, ряд сходится условно на всей числовой прямой, но не сходится абсолютно ни на каком интервале.

Ответ: 4).