Question

25^х-(а-4) 5^х-2а+10а-12=0
Коли а має
1) 2 корені
2) 1 корень
3) немає коренів

Answer 1

Сначала сделал замену, а после подробно показал, как можно красиво разложить на множители, не решая квадратного уравнения относительно новой переменной

$25^x-(a-4)\cdot 5^x-2a^2+10a-12=0\\5^{2x}-(a-4)\cdot 5^x-2a^2+10a-12=0\\5^x=b,b > 0\Rightarrow b^2-(a-4)b-2a^2+10a-12=0\\b^2-ab+4b-2a^2+10a-12=0\\-2a^2-2ab+ab+b^2+4a+6a-2b+6b-12=0\\-2a^2-2ab+4a+ab+b^2-2b+6a+6b-12=0\\-2a(a+b-2)+b(a+b-2)+6(a+b-2)=0\\(a+b-2)(-2a+b+6)=0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой не теряет смысла. Приравняем каждый множитель к нулю

$a+b-2=0\Rightarrow a=2-b\Rightarrow a=2-5^x$$-2a+b+6=0\Rightarrow a=\frac{b+6}{2}\Rightarrow a=\frac{5^x+6}{2}$

Нам дано уравнение $a=2-5^x$, которое перепишем $2-a=5^x$. Заметим, что при $a\geq 2$ решений уравнение не имеет, так как показательная функция не может быть отрицательной и равняться нулю. При $a < 2$ решение будет одно

Рассмотрим второе уравнение и сразу его перепишем $2a-6=5^x$. Если $a\leq 3$, то уравнение не имеет решений, так как показательная функция не может равняться отрицательному числу и нулю. А вот при $a > 3$ уравнение имеет одно решение

При $a\in[2,3]$ уравнеине не имеет решения

При $a\in (-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$ уравнение имеет единственное решение

Нет таких $a$, чтобы уравнение имело два корня

Answer 2

Покрокове пояснення:

розв'язання завдання додаю