ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!
3 задания, 10-11 класс
Даны векторы {4; –4; –2}, {–2; 2; –3}.
а)Будут ли коллинеарными векторы и ?
б)Вычислите .
2.А(2; 7; –1), В(–5; 3; –5), С(1; –3; 1).
а)Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.
б)На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.
3.Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(4; –3; 3), В(6; 1; –1), С(2; –1; –5), D(0; –5; –1).
Ответы
----------------------------------------------------
Задание 1.
a) Векторы коллинеарны, если они параллельны и имеют одинаковое направление или противоположное. Для этого проверим, что они линейно зависимы:
{4; –4; –2} * 3 + {–2; 2; –3} * 2 = {6; -6; -6} - {4; -4; -6} = {2; -2; 0}
Таким образом, векторы не коллинеарны.
б) Скалярное произведение векторов определяется формулой:
a * b = |a| * |b| * cos α
где |a| и |b| – длины векторов a и b,
α – угол между векторами.
Вычисляя скалярное произведение данных векторов, получаем:
{4; –4; –2} * {–2; 2; –3} = 4*(-2) + (-4)*2 + (-2)*(-3) = -8 - 8 + 6 = -10
Ответ: -10.
----------------------------------------------------
Задание 2.
а) Координаты вершины D параллелограмма ABCD можно найти, вычтя из координат вершины C координаты вектора AB:
D = C - AB
AB = B - A = {-7; -4; -4} - {2; 7; -1} = {-9; -11; -3}
D = {1; -3; 1} - {-9; -11; -3} = {10; 8; 4}
Ответ: координаты вершины D равны {10; 8; 4}.
б) Найдем середину отрезка ВС и используем ее как координату искомой точки на оси ординат.
Середина отрезка ВС имеет координаты:
M = (B + C) / 2 = {-5; 3; -5} + {1; -3; 1} / 2 = {-2; 1; -4}
Искомая точка равноудалена от точек В и С, значит, ее координаты удовлетворят условию:
BD^2 = CD^2
где BD и CD – расстояния от искомой точки до точек B и C соответственно.
BD^2 = (y - 3)^2 + (z + 5)^2
CD^2 = (y + 3)^2 + (z - 1)^2
(y + 3)^2 + (z - 1)^2 - (y - 3)^2 - (z + 5)^2 = 0
y - z = 8
Ответ: искомая точка имеет координаты {0; 8; 0}.
----------------------------------------------------
Задание 3.
Для доказательства того, что ABCD является прямоугольником, достаточно проверить, что диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и имеют равную длину.
Диагонали имеют следующие координаты:
AC = C - A = {2; -1; -5} - {4; -3; 3} = {-2; 2; -8}
BD = D - B = {0; -5; -1} - {-5; 3; -5} = {5; -8; 4}
Скалярное произведение векторов AC и BD равно:
AC * BD = (-2)*5 + 2*(-8) + (-8)*4 = -10 - 16 - 32 = -58
Длины векторов равны:
|AC| = sqrt((-2)^2 + 2^2 + (-8)^2) = sqrt(72) = 6sqrt(2)
|BD| = sqrt(5^2 + (-8)^2 + 4^2) = sqrt(105)
Диагонали не перпендикулярны, так как их скалярное произведение не равно нулю, следовательно, ABCD не является прямоугольником.
Ответ: ABCD не является прямоугольником.